Matemáticas CCSS · Cataluña 2019

En un estudio de mercado, 500 participantes han probado tres cafés diferentes, presentados como producto A, producto B y producto C, y han escogido cuál de los tres les ha gustado más. Sabemos que el producto B ha sido escogido por el doble de personas que el producto A y que el producto B lo han escogido 32 personas más que los productos A y C juntos. Calcule cuántas personas han escogido cada producto.

Considere la función $f(x) = 2x^3 + ax$. Calcule el valor de la constante $a$ para que esta función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x = -1$. Diga si se trata de un máximo o de un mínimo y dé también el valor que toma la función $f(x)$ en este punto.

Resuelva las cuestiones siguientes:

La empresa de deporte de aventura Xtrem prepara para la última semana de junio dos paquetes: el paquete básico (PB) y el paquete súper (PS). El PB incluye una bajada de rafting, una bajada haciendo barranquismo y un salto de puente, y tiene un precio de $50\,€$. Por otro lado, el PS incluye tres bajadas de rafting, dos haciendo barranquismo y un salto de puente, y el precio es de $120\,€$. Por limitaciones climáticas y de personal, solo se pueden hacer 12 bajadas de rafting, 9 haciendo barranquismo y 8 saltos de puente. Para hacer la promoción turística, se quiere saber qué combinación de paquetes proporciona más ingresos.

La gráfica de la función $f(x) = ax + b + \frac{8}{x}$ pasa por el punto $(-2, -6)$ y la recta tangente en este punto es paralela al eje de las abscisas.

Un nutricionista, después de hacer un estudio personalizado a un paciente, le propone una dieta. Según el modelo del nutricionista, el peso en kilogramos del paciente seguirá la función $$f(x) = \frac{63x + 510}{x + 6},$$ donde $x$ denota el número de meses que hace que sigue la dieta.

La función $f(x) = \frac{40}{x^2 - 22x + 125}$ muestra aproximadamente la venta diaria, en miles de unidades, de un perfume de moda en función de $x$, donde $x$ es el día del mes de febrero.

Para la Fiesta Mayor, la pastelería del pueblo elabora unas cajas de bombones especiales. La caja pequeña contiene 10 bombones, la mediana tiene 15 bombones y la grande tiene 25. Cada caja va decorada con un lazo conmemorativo. En total han utilizado 210 lazos y $2.650$ bombones. Teniendo en cuenta que han elaborado el doble de cajas pequeñas que de medianas y grandes juntas, ¿cuántas cajas de cada tipo han elaborado?

En una fábrica se dispone de $80\,\text{kg}$ de acero y $120\,\text{kg}$ de aluminio para fabricar bicicletas de montaña y de paseo, que se venderán a $200\,€$ y $150\,€$, respectivamente. Para fabricar una bicicleta de montaña son necesarios $1\,\text{kg}$ de acero y $3\,\text{kg}$ de aluminio, y para fabricar una de paseo, $2\,\text{kg}$ de cada uno de los dos metales.

Un comerciante puede comprar artículos a $350\,€$ la unidad. Si los vende a $750\,€$ la unidad, vende 30. Sabemos que la relación entre estas dos variables (el precio de venta y el número de unidades vendidas) es lineal y que, por cada descuento de $20\,€$ en el precio de venta, incrementa las ventas en 3 unidades. Considerando que el comerciante solo comprará el número de artículos que sabe que venderá:

Una tienda abre al público desde las 10 horas hasta las 21 horas. Sabemos que los ingresos por ventas, en función de la hora del día, vienen dados por la función: $$I(t) = -5(m - t)^2 + n,$$ para $10 \leq t \leq 21$.

En una oficina tienen tres proveedores que les suministran el material. La matriz $P$ nos da los precios unitarios, en euros, de cada uno de los artículos $A_1$, $A_2$ y $A_3$, según los proveedores $p_1$, $p_2$ y $p_3$. $$P = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 11 & 12 & 13 \\ 13 & 13 & 12 \end{pmatrix}$$ Representamos un pedido de $x$ unidades de $A_1$, $y$ unidades de $A_2$ y $z$ unidades de $A_3$ por un vector fila $C = (x \, y \, z)$.