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Matemáticas IICanariasPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Debe responder sólo una pregunta de cada bloque de contenido. En caso de presentar dos preguntas de un mismo bloque, se considerará sólo la primera pregunta respondida. En el desarrollo de cada pregunta, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarla. Se califica todo el proceso. - Se puede utilizar cualquier calculadora científica no programable ni con conexión a Internet.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Hallar la función polinómica f(x)f(x) que verifica que tiene un punto mínimo en M(1,2)M(1, 2) y su segunda derivada es: f′′(x)=2x+3f''(x) = 2x + 3. Dar la expresión de f(x)f(x).
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Bloque 1Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Se quiere construir una Casa de la Juventud de 240 m2240\,\text{m}^2 de superficie, que estará rodeada por una zona ajardinada con las dimensiones de la imagen. Si se quiere minimizar la superficie total de la zona ajardinada, ¿qué dimensiones debe tener la Casa de la Juventud? ¿Cuál es el área de la zona ajardinada?
Plano de la Casa de la Juventud con márgenes de jardín: 3m en los lados superior, inferior e izquierdo, y 7m en el lado derecho.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Dadas las matricesA=(210−10012−1),B=(−1210−10100)yC=(010030−10−1) A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad y \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
a
Comprobar si la matriz M=2I3+BtM = 2I_3 + B^t tiene inversa. Donde I3I_3 la matriz identidad de orden 3.0,75 pts
b
Justificar que existe la matriz XX que verifica la ecuación siguiente:2X+C=A−X⋅Bt 2X + C = A - X \cdot B^t Calcular razonadamente dicha matriz XX.1,75 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Un bar de tapas canario sólo ofrece tres platos en su menú: escaldón, tollos y carajacas. El precio medio de los tres platos (la ración) es de 55€. Se sirven 3030 raciones de escaldón, 2020 raciones de tollos y 1010 raciones de carajacas, por lo que se ingresaron 255255 euros en total. Sabiendo que el triple del precio de las carajacas supera en diez euros el doble del precio de los tollos. Calcula el precio de la ración de cada producto.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

En el espacio tridimensional consideramos el plano y las rectas siguientes:π ⁣:2x+3y−z=4;r ⁣:{x+y−z=02x+5y+z=0;s ⁣:x−11=y−20=z−31 \pi \colon 2x + 3y - z = 4 \quad ; \quad r \colon \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x + 5y + z = 0 \end{cases}; \quad s \colon \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{0} = \frac{z - 3}{1}
a
Calcular el punto simétrico de P(−2,1,2)P(-2, 1, 2) respecto de π\pi.1,25 pts
b
Calcular el ángulo que forman rr y ss.1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

En el espacio tridimensional tenemos las siguientes ecuaciones de rectas:r ⁣:{x+2y−7z=02x+3y−12z+1=0;s ⁣:{2x−7y−3z=22x−y+z=1 r \colon \begin{cases} x + 2y - 7z = 0 \\ 2x + 3y - 12z + 1 = 0 \end{cases} \quad ; \quad s \colon \begin{cases} 2x - 7y - 3z = 22 \\ x - y + z = 1 \end{cases}
a
Estudiar la posición relativa de rr y ss.1,25 pts
b
Hallar la ecuación del plano que contiene a rr y es paralelo a ss.1,25 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Según el estudio TALIS (2018), el 11%11\% de los docentes de Educación Secundaria en España son menores de 3030 años.
a
Elegimos 1515 docentes españoles, ¿qué probabilidad hay de que haya menos de 22 docentes menores de 3030 años?1 pt
b
Supongamos que se seleccionan al azar 200200 docentes españoles. ¿Qué probabilidad hay de que entre 2020 y 3030 docentes sean menores de 3030 años?1 pt
c
En un grupo de 500500 docentes españoles, ¿cuántos cabe esperar que sean mayores de 3030 años?0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Las estaturas de las personas que se presentan a una audición para participar en una película siguen una distribución normal de media 168 cm168\,\text{cm} y desviación típica 8 cm8\,\text{cm}.
Gráfica de la distribución normal estándar mostrando el área bajo la curva $F(x) = P(Z \leq x)$.
a
Si se selecciona una persona participante en la audición, averiguar la probabilidad de que tenga una estatura mayor a 156 cm156\,\text{cm}.1 pt
b
Se afirma que más del 15%15\% de los participantes en la audición medían más de 1,821{,}82 metros. Justifica la veracidad o falsedad de dicha afirmación.0,75 pts
c
¿Qué probabilidad hay de que, elegida una persona al azar, su estatura se encuentre entre 166166 y 172 cm172\,\text{cm}?0,75 pts
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