Matemáticas CCSSMurciaPAU 2025Ordinaria
Matemáticas CCSS · Murcia 2025
8 ejercicios
Instrucciones
Se debe responder a un máximo de 4 cuestiones. Las cuestiones se pueden hacer en cualquier orden. En cada APARTADO se debe hacer sólo la CUESTIÓN 1 o la CUESTIÓN 2. La elección de CUESTIÓN 1 o CUESTIÓN 2 puede cambiar de un apartado a otro. Si se responden las 2 CUESTIONES de un apartado, solo se corregirá la primera CUESTIÓN contestada. Cada cuestión tiene una puntuación entre 2 y 3 puntos. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.
Ejercicio 1 · Opción APARTADO 1 - CUESTIÓN 1
1Opción APARTADO 1 - CUESTIÓN 1
2,5 puntos[1,5 puntos] Dadas las matrices A, B y C:
A = (2, -1; 1, 0), B = (1, 0; -1, 1) y C = (1, 2; 0, -1)
a) Calcula C². [0,25 puntos]
b) Halla A + B + C². [0,25 puntos]
c) Encuentra (A - B)⁻¹. [0,25 puntos]
d) Resuelve la ecuación matricial AX - BX = A + B + C². [0,75 puntos]
[1 punto] Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema lineal:
3x + 2y - z = 3
x - y + 2z = 4
2x + 3y - z = 3
a0,25 pts
Calcula C².0,25 pts
b0,25 pts
Halla A + B + C².0,25 pts
c0,25 pts
Encuentra (A - B)⁻¹.0,25 pts
d0,75 pts
Resuelve la ecuación matricial AX - BX = A + B + C².0,75 pts
e1 pt
Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema lineal:
3x + 2y - z = 3
x - y + 2z = 4
2x + 3y - z = 31 pt
Ejercicio 2 · Opción APARTADO 1 - CUESTIÓN 2
2Opción APARTADO 1 - CUESTIÓN 2
2,5 puntos[2,5 puntos] Una empresa del sector informático produce dos tipos de ordenadores portátiles: notebooks y gaming. La empresa obtiene 400 euros de beneficio por cada notebook y 500 euros por cada gaming. El proceso de fabricación es complejo y tiene tres fases: (1) selección y fabricación de componentes; (2) ensamblaje y (3) control de calidad. Los notebooks necesitan 2, 1 y 1 horas en cada fase, respectivamente, mientras que los gaming necesitan 1, 4 y 2 horas. En cada fase hay un límite de 14, 16 y 10 horas diarias. Se pide:
a) Si la empresa quiere maximizar el beneficio diario, formula el problema, identificando la función objetivo y las restricciones. [0,5 puntos]
b) Representa la región factible. [0,75 puntos]
c) Encuentra los vértices de esta región. [0,5 puntos]
d) ¿Cuántos ordenadores portátiles de cada tipo hay que producir para maximizar los beneficios diarios? [0,5 puntos]
e) Calcula el beneficio máximo diario posible. [0,25 puntos]
a0,5 pts
Si la empresa quiere maximizar el beneficio diario, formula el problema, identificando la función objetivo y las restricciones.0,5 pts
b0,75 pts
Representa la región factible.0,75 pts
c0,5 pts
Encuentra los vértices de esta región.0,5 pts
d0,5 pts
¿Cuántos ordenadores portátiles de cada tipo hay que producir para maximizar los beneficios diarios?0,5 pts
e0,25 pts
Calcula el beneficio máximo diario posible.0,25 pts
Ejercicio 3 · Opción APARTADO 2 - CUESTIÓN 1
3Opción APARTADO 2 - CUESTIÓN 1
3 puntos[3 puntos] Dada la función:
f(x) = (x² + 3) / (1 - x)
a) Determina su dominio. [0,5 puntos]
b) Estudia sus asíntotas. [0,75 puntos]
c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]
d) Calcula los máximos y mínimos locales. [0,75 puntos]
a0,5 pts
Determina su dominio.0,5 pts
b0,75 pts
Estudia sus asíntotas.0,75 pts
c1 pt
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.1 pt
d0,75 pts
Calcula los máximos y mínimos locales.0,75 pts
Ejercicio 4 · Opción APARTADO 2 - CUESTIÓN 2
4Opción APARTADO 2 - CUESTIÓN 2
3 puntos[3 puntos] El famoso rapero Myke Towers ofrecerá un concierto en Murcia el próximo 6 de junio en el Espacio Norte, que durará 5 horas. La asistencia al evento, medida en miles de personas, viene dada por la siguiente función:
N(t) = 20t / (t + 1)²
donde 0 ≤ t ≤ 5 y N es el número de miles de asistentes t horas después del comienzo.
a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función N(t). [1 punto]
b) Calcula en qué hora se produce el máximo número de asistentes y a cuánto ascienden. [1,25 puntos]
c) Evalúa e interpreta la derivada de la función N(t) en t = 2. [0,25 puntos]
d) Halla cuántos asistentes hay una vez han transcurrido 3 horas desde el comienzo del concierto. [0,5 puntos]
a1 pt
Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función N(t).1 pt
b1,25 pts
Calcula en qué hora se produce el máximo número de asistentes y a cuánto ascienden.1,25 pts
c0,25 pts
Evalúa e interpreta la derivada de la función N(t) en t = 2.0,25 pts
d0,5 pts
Halla cuántos asistentes hay una vez han transcurrido 3 horas desde el comienzo del concierto.0,5 pts
Ejercicio 5 · Opción APARTADO 3 - CUESTIÓN 1
5Opción APARTADO 3 - CUESTIÓN 1
2 puntos[2 puntos] Realiza:
a) Si ∫₀² f(x)dx = 4, ¿a qué es igual ∫₀² [f(x) + 3]dx? [0,25 puntos]
b) Representa gráficamente el recinto del plano limitado por f(x) = x² y g(x) = 2x + 3. Calcula su área. [1,75 puntos]
a0,25 pts
Si ∫₀² f(x)dx = 4, ¿a qué es igual ∫₀² [f(x) + 3]dx?0,25 pts
b1,75 pts
Representa gráficamente el recinto del plano limitado por f(x) = x² y g(x) = 2x + 3. Calcula su área.1,75 pts
Ejercicio 6 · Opción APARTADO 3 - CUESTIÓN 2
6Opción APARTADO 3 - CUESTIÓN 2
2 puntos[2 puntos] Realiza:
a) Calcula los valores de los límites de integración a y b de manera que se cumpla ∫₋₂¹ f(x)dx + ∫₁⁵ f(x)dx = ∫ₐᵇ f(x)dx. [0,25 puntos]
b) Dada la función f(x) = (1/2)e^(x/2):
b.1) Escribe la integral que describe el área de la región sombreada. [0,5 puntos]
b.2) Calcula el área. [1,25 puntos]
a0,25 pts
Calcula los valores de los límites de integración a y b de manera que se cumpla ∫₋₂¹ f(x)dx + ∫₁⁵ f(x)dx = ∫ₐᵇ f(x)dx.0,25 pts
b.10,5 pts
Dada la función f(x) = (1/2)e^(x/2): Escribe la integral que describe el área de la región sombreada.0,5 pts
b.21,25 pts
Calcula el área.1,25 pts
Ejercicio 7 · Opción APARTADO 4 - CUESTIÓN 1
7Opción APARTADO 4 - CUESTIÓN 1
2,5 puntos[2,5 puntos] Un grupo de investigadores de la Universidad de Murcia realizó una encuesta en la que se preguntó a 1000 personas adultas su opinión sobre establecer una edad legal para que los niños tengan teléfono móvil. Según los resultados, 560 personas, de las que 390 eran mujeres, opinaron a favor de esta medida. De las 440 personas que opinaron en contra, 280 eran hombres. Si se selecciona una persona al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida? [0,25 puntos]
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea mujer? [0,75 puntos]
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mujer o esté a favor de esta medida? [0,75 puntos]
d) Si esa persona seleccionada al azar es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida? [0,75 puntos]
a0,25 pts
¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida?0,25 pts
b0,75 pts
¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea mujer?0,75 pts
c0,75 pts
¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mujer o esté a favor de esta medida?0,75 pts
d0,75 pts
Si esa persona seleccionada al azar es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida?0,75 pts
Ejercicio 8 · Opción APARTADO 4 - CUESTIÓN 2
8Opción APARTADO 4 - CUESTIÓN 2
2,5 puntos[2,5 puntos] El peso, en kg, de los jugadores de fútbol de la Liga Nacional juvenil de la Región de Murcia sigue una distribución normal con media μ y desviación típica igual a 12 kg.
a) Si en una muestra de 64 jugadores el peso medio ha sido de 70 kg, calcula un intervalo de confianza con un 95% de confianza para la media de los pesos de los jugadores de fútbol de la Ligan Nacional juvenil de la Región de Murcia. [1 punto]
b) Determina el tamaño mínimo que debe tener una muestra de jugadores para que el error máximo cometido en la estimación de μ sea menor que 4 kg con un nivel de confianza del 98%. [0,75 puntos]
c) Si μ = 71 y se elige a un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que pese más de 75 kg? [0,75 puntos]
a1 pt
Si en una muestra de 64 jugadores el peso medio ha sido de 70 kg, calcula un intervalo de confianza con un 95% de confianza para la media de los pesos de los jugadores de fútbol de la Ligan Nacional juvenil de la Región de Murcia.1 pt
b0,75 pts
Determina el tamaño mínimo que debe tener una muestra de jugadores para que el error máximo cometido en la estimación de μ sea menor que 4 kg con un nivel de confianza del 98%.0,75 pts
c0,75 pts
Si μ = 71 y se elige a un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que pese más de 75 kg?0,75 pts