Matemáticas CCSS · Murcia 2025

[1,5 puntos] Dadas las matrices A, B y C: A = (2, -1; 1, 0), B = (1, 0; -1, 1) y C = (1, 2; 0, -1) a) Calcula C². [0,25 puntos] b) Halla A + B + C². [0,25 puntos] c) Encuentra (A - B)⁻¹. [0,25 puntos] d) Resuelve la ecuación matricial AX - BX = A + B + C². [0,75 puntos] [1 punto] Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema lineal: 3x + 2y - z = 3 x - y + 2z = 4 2x + 3y - z = 3

[2,5 puntos] Una empresa del sector informático produce dos tipos de ordenadores portátiles: notebooks y gaming. La empresa obtiene 400 euros de beneficio por cada notebook y 500 euros por cada gaming. El proceso de fabricación es complejo y tiene tres fases: (1) selección y fabricación de componentes; (2) ensamblaje y (3) control de calidad. Los notebooks necesitan 2, 1 y 1 horas en cada fase, respectivamente, mientras que los gaming necesitan 1, 4 y 2 horas. En cada fase hay un límite de 14, 16 y 10 horas diarias. Se pide: a) Si la empresa quiere maximizar el beneficio diario, formula el problema, identificando la función objetivo y las restricciones. [0,5 puntos] b) Representa la región factible. [0,75 puntos] c) Encuentra los vértices de esta región. [0,5 puntos] d) ¿Cuántos ordenadores portátiles de cada tipo hay que producir para maximizar los beneficios diarios? [0,5 puntos] e) Calcula el beneficio máximo diario posible. [0,25 puntos]

[3 puntos] Dada la función: f(x) = (x² + 3) / (1 - x) a) Determina su dominio. [0,5 puntos] b) Estudia sus asíntotas. [0,75 puntos] c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto] d) Calcula los máximos y mínimos locales. [0,75 puntos]

[3 puntos] El famoso rapero Myke Towers ofrecerá un concierto en Murcia el próximo 6 de junio en el Espacio Norte, que durará 5 horas. La asistencia al evento, medida en miles de personas, viene dada por la siguiente función: N(t) = 20t / (t + 1)² donde 0 ≤ t ≤ 5 y N es el número de miles de asistentes t horas después del comienzo. a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función N(t). [1 punto] b) Calcula en qué hora se produce el máximo número de asistentes y a cuánto ascienden. [1,25 puntos] c) Evalúa e interpreta la derivada de la función N(t) en t = 2. [0,25 puntos] d) Halla cuántos asistentes hay una vez han transcurrido 3 horas desde el comienzo del concierto. [0,5 puntos]

[2 puntos] Realiza: a) Si ∫₀² f(x)dx = 4, ¿a qué es igual ∫₀² [f(x) + 3]dx? [0,25 puntos] b) Representa gráficamente el recinto del plano limitado por f(x) = x² y g(x) = 2x + 3. Calcula su área. [1,75 puntos]

[2 puntos] Realiza: a) Calcula los valores de los límites de integración a y b de manera que se cumpla ∫₋₂¹ f(x)dx + ∫₁⁵ f(x)dx = ∫ₐᵇ f(x)dx. [0,25 puntos] b) Dada la función f(x) = (1/2)e^(x/2): b.1) Escribe la integral que describe el área de la región sombreada. [0,5 puntos] b.2) Calcula el área. [1,25 puntos]

[2,5 puntos] Un grupo de investigadores de la Universidad de Murcia realizó una encuesta en la que se preguntó a 1000 personas adultas su opinión sobre establecer una edad legal para que los niños tengan teléfono móvil. Según los resultados, 560 personas, de las que 390 eran mujeres, opinaron a favor de esta medida. De las 440 personas que opinaron en contra, 280 eran hombres. Si se selecciona una persona al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida? [0,25 puntos] b) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea mujer? [0,75 puntos] c) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mujer o esté a favor de esta medida? [0,75 puntos] d) Si esa persona seleccionada al azar es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida? [0,75 puntos]

[2,5 puntos] El peso, en kg, de los jugadores de fútbol de la Liga Nacional juvenil de la Región de Murcia sigue una distribución normal con media μ y desviación típica igual a 12 kg. a) Si en una muestra de 64 jugadores el peso medio ha sido de 70 kg, calcula un intervalo de confianza con un 95% de confianza para la media de los pesos de los jugadores de fútbol de la Ligan Nacional juvenil de la Región de Murcia. [1 punto] b) Determina el tamaño mínimo que debe tener una muestra de jugadores para que el error máximo cometido en la estimación de μ sea menor que 4 kg con un nivel de confianza del 98%. [0,75 puntos] c) Si μ = 71 y se elige a un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que pese más de 75 kg? [0,75 puntos]