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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSGaliciaPAU 2023Ordinaria

Matemáticas CCSS · Galicia 2023

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen consta de 6 ejercicios, todos con la misma valoración máxima (3,33 puntos), de los que puede realizar un MÁXIMO DE 3 combinados como quiera. Si realiza más ejercicios de los permitidos, sólo se corregirán los tres primeros realizados.

Ejercicio 1

1
3,33 puntos
Sean las matrices A=(12302−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} y B=(−2−11011)B = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
a
Calcule la matriz AtA^t (siendo AtA^t la matriz traspuesta de AA) y calcule la matriz A⋅BA \cdot B.1 pt
b
Calcule la matriz X=(abcd)X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} que cumple A⋅B⋅X=C+IA \cdot B \cdot X = C + I donde C=(1−20−1)C = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} e II la matriz identidad 2×22 \times 2.2,33 pts
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Ejercicio 2

2
3,33 puntos
Un grupo empresarial desea crear una red de producción formada por plantas de dos tipos: A y B. Cada planta de producción A generaría unos costes mensuales de 1.0001.000 euros y necesitaría 8 empleados para su funcionamiento, mientras que cada planta de producción B generaría unos costes mensuales de 2.0002.000 euros y necesitaría 4 empleados. El número de plantas de producción A no deberá superar al doble de las de tipo B. Además, los costes mensuales de esta red de producción no deben superar los 42.00042.000 euros y tampoco debe suponer la contratación de más de 120 empleados.
a
Formule el sistema de inecuaciones asociado al problema.1 pt
b
Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.1,5 pts
c
Si se sabe que cada planta de producción A generaría unos beneficios mensuales de 24.00024.000 euros y cada planta de producción B de 20.00020.000 euros, ¿cuántas plantas de producción de cada tipo deberían formar la red para que los beneficios mensuales sean máximos?0,83 pts
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Ejercicio 3

3
3,33 puntos
El volumen de agua (en millones de litros) almacenado en un embalse a lo largo de un periodo de 11 años en función del tiempo tt (en años) viene dado por la función:V(t)=t3−24t2+180t+8000,0≤t≤11V(t) = t^3 - 24t^2 + 180t + 8000, \quad 0 \leq t \leq 11
a
Determine los periodos de crecimiento y decrecimiento del agua almacenada.2 pts
b
Calcule la cantidad de agua almacenada en el último año (t=11t = 11).0,33 pts
c
Calcule el año del periodo en el que el volumen almacenado fue máximo y el volumen máximo que tuvo el embalse a lo largo de ese periodo.1 pt
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Ejercicio 4

4
3,33 puntos
Los beneficios obtenidos durante el primer año (en cientos de euros) por un establecimiento dedicado al reparto de comida a domicilio vienen dados por la función:B(t)=t(t−a)2,0≤t≤12B(t) = t(t - a)^2, \quad 0 \leq t \leq 12donde tt es el tiempo transcurrido en meses desde la apertura del establecimiento.
a
Calcule el valor del parámetro aa teniendo en cuenta que B(t)B(t) presenta un punto de inflexión en t=6t = 6.1 pt
b
Para a=9a = 9, ¿cuál ha sido el mayor beneficio obtenido? ¿En qué momento o momentos se ha producido? Justifique las respuestas.2 pts
c
Para a=9a = 9, represente la gráfica de la función B(t)B(t) teniendo en cuenta la información anterior y el estudio de sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.0,33 pts
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Ejercicio 5

5
3,33 puntos
En una ciudad, el 70% de la población recibe publicidad de un establecimiento, de los cuales un 90% realiza alguna compra en dicho establecimiento. También se sabe que de los que no reciben publicidad, un 60% realiza alguna compra en dicho establecimiento.
a
¿Qué porcentaje de la población de la ciudad realiza alguna compra en ese establecimiento?1,33 pts
b
Si elegimos una persona al azar que ha realizado alguna compra en ese establecimiento, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido publicidad del mismo?1 pt
c
¿Son independientes los sucesos “realizar alguna compra en ese establecimiento” y “recibir publicidad del mismo”? Justifique la respuesta.1 pt
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Ejercicio 6

6
3,33 puntos
En una muestra aleatoria de 120 empresas inspeccionadas, de entre las visitadas un año por los inspectores de trabajo de una provincia, se ha sancionado a 30 de ellas.
a
Calcule, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para la proporción de empresas sancionadas por la Inspección de Trabajo.2 pts
b
Si ignoramos los datos iniciales y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el tamaño mínimo de la muestra necesaria para estimar la proporción de empresas sancionadas con un error máximo del 2%?1,33 pts
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