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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2024

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Responda en el pliego en blanco a cuatro preguntas cualesquiera de entre las ocho que se proponen. Todas las preguntas se calificarán con un máximo de 2.5 puntos. Agrupaciones de preguntas que sumen más de 10 puntos o que no coincidan con las indicadas conllevarán la anulación de la(s) última(s) pregunta(s) seleccionada(s) v/o respondida(s)

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Una fábrica produce tazas, platos y teteras de cerámica. Por cada uno de estos productos se utiliza una cantidad fija de material, que se introduce en la máquina de la cual sale la pieza preparada para el embalaje. En cada taza la máquina utiliza 5 minutos, 4 en cada plato y 8 en cada tetera. El coste del material utilizado es 3 € cada taza, 4 € cada plato y 3 € cada tetera. Se hace un estudio de la producción durante 50 minutos y se calcula que el coste es de 26 €.
a
Plantea un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema y escríbelo matricialmente.0,75 pts
b
Suponiendo que en estos 50 minutos se fabricaron en total exactamente 8 piezas, calcula, si es posible, cuántas unidades se produjeron de cada tipo.1 pt
c
Si se consigue rebajar el tiempo de elaboración de cada tetera de 8 a 5 minutos, ¿sería posible fabricar exactamente 10 piezas?0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea x∈Rx \in \mathbb{R} y las matrices A=(123−10320x)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & x \end{pmatrix}, B=(112)B = (1 \quad 1 \quad 2), C=(112)C = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}.
a
Decide de forma razonada si se pueden realizar las operaciones siguientes CAB y BAC. ¿Cuál sería la dimensión de la matriz resultante si pudiese realizarse?0,75 pts
b
Calcula según los valores de xx el rango de A. Para x=0x = 0, comprueba que existe A−1A^{-1} y calcúlala.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=x2−41−xf(x) = \frac{x^2 - 4}{1 - x}.
a
Calcula el dominio de la función ff y sus asíntotas.1 pt
b
Halla en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.1 pt
c
Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de ff.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dada la función f(x)=sen⁡(π−2x)f(x) = \operatorname{sen}(\pi - 2x).
a
Calcula una primitiva que pase por el punto (π2,1)\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right).1,25 pts
b
Calcula el área limitada por ff, el eje X y las rectas x=−π4x = -\frac{\pi}{4} y x=π4x = \frac{\pi}{4}.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Se consideran los puntos A=(0,−1,1)A = (0, -1, 1) y B=(2,1,3)B = (2, 1, 3) de R3\mathbb{R}^3.
a
Encuentra la ecuación del plano π\pi que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él.1,25 pts
b
Encuentra la ecuación continua de la recta rr perpendicular al plano π′≡x+y+z=3\pi' \equiv x + y + z = 3 y que contiene al punto Q=(1,0,1)Q = (1, 0, 1).1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Se consideran los puntos A=(1,1,1)A = (1, 1, 1), B=(1,0,2)B = (1, 0, 2), C=(−1,1,3)C = (-1, 1, 3) y D=(−1,0,1)D = (-1, 0, 1).
a
Estudia si existe un plano que contenga a los cuatro puntos.0,75 pts
b
Calcula la recta rr que pasa por DD y es perpendicular al plano π\pi que contiene a AA, BB y CC.0,75 pts
c
Calcula el punto PP intersección de rr y π\pi del apartado anterior.1 pt
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
En un instituto el 55% de los estudiantes del curso 2023-2024 hacen el Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología. El 30% de los estudiantes que cursan el Bachillerato de Ciencias y Tecnología cursan como optativa la asignatura ‘Proyecto de Investigación Integrado’ y de los que no hacen este Bachillerato, el 40% cursan esta asignatura como optativa.
a
Tomado un estudiante al azar del total de matriculados en Bachillerato, ¿cuál es la probabilidad de que curse la asignatura ‘Proyecto de Investigación Integrado’?1,25 pts
b
Si un estudiante elegido al azar no cursa la asignatura ‘Proyecto de Investigación Integrado’, ¿cuál es la probabilidad de que curse el Bachillerato de Ciencias y Tecnología?1,25 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
En una comunidad autónoma se estudia la cantidad media de basura que se genera por habitante durante dos meses. Se observa que sigue una distribución normal de media 8585 kg y desviación típica 1515 kg.
Datos
  • Algunos valores de la función de distribución N(0,1)N(0, 1) son: F(x)=P(Z≤x)F(x) = P(Z \leq x)
  • F(0)=0,5F(0) = 0{,}5
  • F(0,15)=0,5596F(0{,}15) = 0{,}5596
  • F(0,3333)=0,6294F(0{,}3333) = 0{,}6294
  • F(0,385)=0,65F(0{,}385) = 0{,}65
  • F(0,5596)=0,7112F(0{,}5596) = 0{,}7112
  • F(0,6294)=0,7356F(0{,}6294) = 0{,}7356
  • F(0,8159)=0,7939F(0{,}8159) = 0{,}7939
  • F(0,9)=0,8159F(0{,}9) = 0{,}8159
  • F(1,28)=0,9F(1{,}28) = 0{,}9
a
¿Qué porcentaje de población genera más de 9090 kg cada dos meses?0,75 pts
b
Si se toma una muestra de 1000010000 habitantes, ¿cuántos generan menos de 9090 kg de basura?0,75 pts
c
Se hace una campaña de concienciación y se observa que, de las 1000010000 personas de la muestra, 55965596 generan menos de 7070 kg de basura. Suponiendo que se mantiene la desviación típica, ¿cuál es la nueva media? ¿Ha funcionado la campaña?1 pt
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