Matemáticas CCSS · Andalucía 2016

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}$.

Una empresa fabrica dos tipos de agua de colonia, A y B. La colonia A contiene un $5\%$ de extracto de rosas y un $10\%$ de alcohol, mientras que la B se fabrica con un $10\%$ de extracto de rosas y un $15\%$ de alcohol. El precio de venta de la colonia A es de $24\,\text{€/litro}$ y el de la B es de $40\,\text{€/litro}$. Se dispone de $70$ litros de extracto de rosas y de $120$ litros de alcohol. ¿Cuántos litros de cada colonia convendría fabricar para que el importe de la venta de la producción sea máximo?

Una fábrica produce entre $1000$ y $6000$ bombillas al día. El coste diario de producción, en euros, de $x$ bombillas viene dado por la función $$C(x) = 9000 + 0{,}08x + \frac{2000000}{x}, \quad \text{con } 1000 \leq x \leq 6000.$$

Los beneficios de una empresa, en miles de euros, han evolucionado en los $25$ años de su existencia según una función del tiempo, en años, dada por la siguiente expresión: $$B(t) = \begin{cases} 4t & \text{si} & 0 \leq t < 10 \\ -\frac{1}{5}t^2 + 8t - 20 & \text{si} & 10 \leq t \leq 25 \end{cases}$$

El $60\%$ de los jóvenes de una ciudad usa Facebook, el $80\%$ usa WhatsApp y el $4\%$ usa Facebook pero no WhatsApp.

De los sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio se conocen las siguientes probabilidades: $$P(A) = 0{,}4, \quad P(B) = 0{,}5, \quad P((A \cup B)^C) = 0{,}1$$

En un artículo de internet se afirma que el número medio de mensajes de WhatsApp que mandan los jóvenes al día no es inferior a $40$. Para contrastar dicha información se elige una muestra aleatoria de $100$ jóvenes y se observa que envían una media de $38$ mensajes al día. Se sabe que el número de mensajes enviados diariamente sigue una distribución Normal de desviación típica $2$. Con un nivel de significación del $5\%$ plantee un contraste, $(H_0 : \mu \geq 40)$, determine la región de rechazo y concluya si se puede aceptar la afirmación del artículo de internet.