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la cuevadel empollón
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Matemáticas CCSS · Andalucía 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(120−3)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}, B=(1−1021−1)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} y C=(1402−31)C = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
a
Resuelva la ecuación matricial C⋅B⋅X−2A⋅X=AtC \cdot B \cdot X - 2A \cdot X = A^t.1,7 pts
b
Analice cuáles de las siguientes operaciones, sin efectuarlas, se pueden realizar y justifique las respuestas: B⋅C+2AB \cdot C + 2A, A⋅C+CA \cdot C + C, B⋅CtB \cdot C^t, C⋅B−AC \cdot B - A.0,8 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Una fábrica produce entre 10001000 y 60006000 bombillas al día. El coste diario de producción, en euros, de xx bombillas viene dado por la funciónC(x)=9000+0,08x+2000000x,con 1000≤x≤6000.C(x) = 9000 + 0{,}08x + \frac{2000000}{x}, \quad \text{con } 1000 \leq x \leq 6000.
a
¿Cuántas bombillas deberían producirse diariamente para minimizar costes?
b
¿Cuál sería dicho coste?
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
El 60%60\% de los jóvenes de una ciudad usa Facebook, el 80%80\% usa WhatsApp y el 4%4\% usa Facebook pero no WhatsApp.
a
Halle el porcentaje de jóvenes de esa ciudad que usa ambas aplicaciones.0,5 pts
b
Calcule el porcentaje de esos jóvenes que usa WhatsApp pero no Facebook.0,75 pts
c
Entre los jóvenes que usan WhatsApp, ¿qué porcentaje usa también Facebook?0,75 pts
d
Los sucesos “usar Facebook” y “usar WhatsApp”, ¿son independientes?0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
La talla de los individuos de una población sigue una distribución Normal con desviación típica 8 cm8\,\text{cm} y media desconocida. A partir de una muestra aleatoria se ha obtenido un intervalo de confianza al 95%95\% para estimar la talla media poblacional, que ha resultado ser (164,86,171,14)(164{,}86, 171{,}14) en cm. Calcule la talla media de la muestra y el tamaño muestral mínimo necesario para reducir a la mitad el error máximo de estimación anterior.1,5 pts
b
En un club privado con 243243 usuarios se ha seleccionado una muestra para hacer un sondeo, según la actividad realizada y por muestreo aleatorio estratificado. En esa muestra, 55 usuarios practican Yoga, 77 Pilates y 1515 Mantenimiento, ¿cuántos usuarios están inscritos en cada actividad en ese club?1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Una empresa fabrica dos tipos de agua de colonia, A y B. La colonia A contiene un 5%5\% de extracto de rosas y un 10%10\% de alcohol, mientras que la B se fabrica con un 10%10\% de extracto de rosas y un 15%15\% de alcohol. El precio de venta de la colonia A es de 24 €/litro24\,\text{€/litro} y el de la B es de 40 €/litro40\,\text{€/litro}. Se dispone de 7070 litros de extracto de rosas y de 120120 litros de alcohol. ¿Cuántos litros de cada colonia convendría fabricar para que el importe de la venta de la producción sea máximo?
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Los beneficios de una empresa, en miles de euros, han evolucionado en los 2525 años de su existencia según una función del tiempo, en años, dada por la siguiente expresión:B(t)={4tsi0≤t<10−15t2+8t−20si10≤t≤25B(t) = \begin{cases} 4t & \text{si} & 0 \leq t < 10 \\ -\frac{1}{5}t^2 + 8t - 20 & \text{si} & 10 \leq t \leq 25 \end{cases}
a
Estudie la continuidad y derivabilidad de BB en el intervalo [0,25][0, 25].1 pt
b
Estudie la monotonía de esta función y determine en qué año fueron mayores los beneficios de esta empresa y cuál fue su beneficio máximo.1 pt
c
Represente gráficamente esta función.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
De los sucesos AA y BB de un experimento aleatorio se conocen las siguientes probabilidades:P(A)=0,4,P(B)=0,5,P((A∪B)C)=0,1P(A) = 0{,}4, \quad P(B) = 0{,}5, \quad P((A \cup B)^C) = 0{,}1
a
Razone si AA y BB son sucesos compatibles.0,75 pts
b
Razone si AA y BB son sucesos independientes.0,75 pts
c
Calcule P(A∩BC)P(A \cap B^C).0,5 pts
d
Calcule P(A/BC)P(A / B^C).0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
En un artículo de internet se afirma que el número medio de mensajes de WhatsApp que mandan los jóvenes al día no es inferior a 4040. Para contrastar dicha información se elige una muestra aleatoria de 100100 jóvenes y se observa que envían una media de 3838 mensajes al día. Se sabe que el número de mensajes enviados diariamente sigue una distribución Normal de desviación típica 22. Con un nivel de significación del 5%5\% plantee un contraste, (H0:μ≥40)(H_0 : \mu \geq 40), determine la región de rechazo y concluya si se puede aceptar la afirmación del artículo de internet.
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