Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2021

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas de entre las ocho propuestas. Disponéis de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total de puntos obtenidos entre 4. Solo se tendrán en cuenta las respuestas claramente justificadas y razonadas usando lenguaje matemático o no matemático, según corresponda. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Se permite utilizar calculadora científica básica. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de dispositivos con acceso a Internet o aparatos que puedan transmitir o almacenar información.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dada la matrizA=(a2aaaa21a1a2)A = \begin{pmatrix} a^2 & a & a \\ a & a^2 & 1 \\ a & 1 & a^2 \end{pmatrix}
a
Estudia el rango de la matriz AA según los valores de aa.6 pts
b
Determina para qué valores de aa la matriz AA es invertible.1 pt
c
Para el valor de a=−1a = -1 calcula la solución, XX, de la ecuación matricialA⋅X=(000)A \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}3 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
10 puntos
Sea la matrizA=(1121)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
a
Calcula AtA^t, A2A^2 y A−1A^{-1}, donde AtA^t es la matriz transpuesta y A−1A^{-1} la inversa.3 pts
b
Sea II la matriz identidad. Resuelve XX de la ecuaciónA2−2AX+I=(200−4)A^2 - 2AX + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}3 pts
c
Calcula todas las matrices BB para las cuales se tiene queA⋅B=B⋅AtA \cdot B = B \cdot A^t4 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
10 puntos
Considera la funciónf(x)=1x4f(x) = \frac{1}{x^4}
a
Represéntala gráficamente.7 pts
b
Comprueba que f(2)=f(−2)f(2) = f(-2).1 pt
c
Comprueba que no existe c∈[−2,2]c \in [-2, 2] tal que f′(c)=0f'(c) = 0.1 pt
d
¿Hay una contradicción con la conclusión del teorema de Rolle?1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
10 puntos
Dada la funciónf(x)=−x4−x2f(x) = \frac{-x}{4 - x^2}
a
Calcula una primitiva de f(x)f(x).5 pts
b
Calcula el área delimitada por la gráfica de f(x)f(x), las rectas x=5x = \sqrt{5} y x=6x = \sqrt{6}, y el eje XX.5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
10 puntos
Considera los puntos,A=(5,a,7),B=(3,−1,7),C=(6,5,4)A = (5, a, 7), \quad B = (3, -1, 7), \quad C = (6, 5, 4)
a
Determina el valor del parámetro aa para el cual los puntos AA, BB y CC forman un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en el punto BB.3 pts
b
Para el valor de a=−2a = -2, calcula el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.3 pts
c
Para el valor de a=5a = 5, calcula el ángulo formado por los vectores AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}.4 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
10 puntos
Dadas las rectasr:x−m−1=y+104=z+31,s:{x=1,y=6+4λ,z=−1+2λ.r: \frac{x - m}{-1} = \frac{y + 10}{4} = \frac{z + 3}{1}, \qquad s: \begin{cases} x = 1, \\ y = 6 + 4\lambda, \\ z = -1 + 2\lambda. \end{cases}
a
Calcula el valor de mm para que se corten en un punto.7 pts
b
Calcula el punto de corte.3 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 7

7
10 puntos
Se dispone de dos urnas: U1U_1 y U2U_2. En U1U_1 hay: 4 bolas rojas y 5 bolas negras. En U2U_2 hay: 6 bolas rojas y 3 bolas negras. Al azar se saca una bola de U1U_1 y se introduce en U2U_2, a continuación se extrae al azar una bola de U2U_2. Calcula la probabilidad de que:
a
salga una bola roja de U2U_23 pts
b
la bola extraída de U1U_1 sea negra, sabiendo que la bola que ha salido de U2U_2 también ha sido negra.3 pts
c
salga al menos una bola roja.4 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 8

8
10 puntos
Una compañía aérea ha observado que los pesos de las maletas de un determinado trayecto siguen una distribución normal de media 7,57{,}5 kg y desviación típica de 0,40{,}4 kg. Calcula la probabilidad de que, escogida una maleta al azar:
a
pese menos de 7,27{,}2 kg pero más de 77 kg.4 pts
b
pese entre 7,87{,}8 kg y 88 kg.3 pts
c
Si en un trayecto hay 90 maletas, ¿cuántas maletas es de esperar que pesen al menos 8,18{,}1 kg?3 pts
Ver este ejercicio