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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2021

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dada la matriz A=(a2aaaa21a1a2)A = \begin{pmatrix} a^2 & a & a \\ a & a^2 & 1 \\ a & 1 & a^2 \end{pmatrix}
a)6 pts
Estudia el rango de la matriz AA según los valores de aa.
b)1 pts
Determina para qué valores de aa la matriz AA es invertible.
c)3 pts
Para el valor de a=−1a = -1 calcula la solución, XX, de la ecuación matricial A⋅X=(000)A \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Sea la matriz A=(1121)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
a)3 pts
Calcula AtA^t, A2A^2 y A−1A^{-1}, donde AtA^t es la matriz transpuesta y A−1A^{-1} la inversa.
b)3 pts
Sea II la matriz identidad. Resuelve XX de la ecuación A2−2AX+I=(200−4)A^2 - 2AX + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}
c)4 pts
Calcula todas las matrices BB para las cuales se tiene que A⋅B=B⋅AtA \cdot B = B \cdot A^t
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considera la función f(x)=1x4f(x) = \frac{1}{x^4}
a)7 pts
Represéntala gráficamente.
b)1 pts
Comprueba que f(2)=f(−2)f(2) = f(-2).
c)1 pts
Comprueba que no existe c∈[−2,2]c \in [-2, 2] tal que f′(c)=0f'(c) = 0.
d)1 pts
¿Hay una contradicción con la conclusión del teorema de Rolle?
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Dada la función f(x)=−x4−x2f(x) = \frac{-x}{4 - x^2}
a)5 pts
Calcula una primitiva de f(x)f(x).
b)5 pts
Calcula el área delimitada por la gráfica de f(x)f(x), las rectas x=5x = \sqrt{5} y x=6x = \sqrt{6}, y el eje XX.
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Considera los puntos, A=(5,a,7),B=(3,−1,7),C=(6,5,4)A = (5, a, 7), \quad B = (3, -1, 7), \quad C = (6, 5, 4)
a)3 pts
Determina el valor del parámetro aa para el cual los puntos AA, BB y CC forman un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en el punto BB.
b)3 pts
Para el valor de a=−2a = -2, calcula el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.
c)4 pts
Para el valor de a=5a = 5, calcula el ángulo formado por los vectores AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}.
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Dadas las rectas r:x−m−1=y+104=z+31,s:{x=1,y=6+4λ,z=−1+2λ.r: \frac{x - m}{-1} = \frac{y + 10}{4} = \frac{z + 3}{1}, \qquad s: \begin{cases} x = 1, \\ y = 6 + 4\lambda, \\ z = -1 + 2\lambda. \end{cases}
a)7 pts
Calcula el valor de mm para que se corten en un punto.
b)3 pts
Calcula el punto de corte.
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Ejercicio 7

7
10 puntos
Se dispone de dos urnas: U1U_1 y U2U_2. En U1U_1 hay: 4 bolas rojas y 5 bolas negras. En U2U_2 hay: 6 bolas rojas y 3 bolas negras. Al azar se saca una bola de U1U_1 y se introduce en U2U_2, a continuación se extrae al azar una bola de U2U_2. Calcula la probabilidad de que:
a)3 pts
salga una bola roja de U2U_2
b)3 pts
la bola extraída de U1U_1 sea negra, sabiendo que la bola que ha salido de U2U_2 también ha sido negra.
c)4 pts
salga al menos una bola roja.
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Ejercicio 8

8
10 puntos
Una compañía aérea ha observado que los pesos de las maletas de un determinado trayecto siguen una distribución normal de media 7,57{,}5 kg y desviación típica de 0,40{,}4 kg. Calcula la probabilidad de que, escogida una maleta al azar:
a)4 pts
pese menos de 7,27{,}2 kg pero más de 77 kg.
b)3 pts
pese entre 7,87{,}8 kg y 88 kg.
c)3 pts
Si en un trayecto hay 90 maletas, ¿cuántas maletas es de esperar que pesen al menos 8,18{,}1 kg?
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