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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMurciaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Murcia 2023

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OBSERVACIONES IMPORTANTE: Debes responder a un máximo de 4 preguntas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2,5 puntos. Si se responde a más de 4 preguntas, sólo se corregirán las cuatro primeras que haya respondido el estudiante. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Discutir el sistema lineal de ecuaciones en función de los valores del parámetro aa:
a
{x+ay+z=12y+az=2x+y+z=1\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ 2y + az = 2 \\ x + y + z = 1 \end{cases}2 pts
b
Resolverlo para a=3a = 3.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea SS la región del plano delimitado por el sistema de inecuaciones:{3x+2y≥2x−y≤4x≥1y≤2\begin{cases} 3x + 2y \geq 2 \\ x - y \leq 4 \\ x \geq 1 \\ y \leq 2 \end{cases}
a
Represente la región SS y calcule sus vértices.2 pts
b
Determine los puntos de la región factible dónde la función f(x,y)=4x−5yf(x, y) = 4x - 5y alcanza su valor máximo y mínimo. Calcule dichos valores.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
La función de costes de una empresa C(q)=q2−16q+48C(q) = q^2 - 16q + 48, donde qq es el nivel de producción. Si la ecuación de demanda viene dada por la expresión p=12−qp = 12 - q, donde pp es el precio unitario de venta. Determine:
a
La función de beneficios de la empresa en función del nivel de producción.0,5 pts
b
El nivel de producción, qq, para el que se maximiza la función de beneficios de la empresa.1 pt
c
El precio para el que se obtendría el máximo beneficio.0,5 pts
d
El valor del beneficio máximo.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dada la función:f(x)={a(2x+5)si x≤−1bx2−2x+1si −1<x≤23x−1(x−1)2si x>2f(x) = \begin{cases} a(2x + 5) & \text{si } x \leq -1 \\ bx^2 - 2x + 1 & \text{si } -1 < x \leq 2 \\ \frac{3x - 1}{(x - 1)^2} & \text{si } x > 2 \end{cases}
a
Calcular el valor de los parámetros aa y bb para que la función sea continua en todo su dominio.1,5 pts
b
Determine la derivada f′(x)f'(x) para x>2x > 2.1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x2−4x+4xf(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x}, calcule:
a
El dominio de la función y los puntos de corte con los ejes coordenados.0,5 pts
b
Las asíntotas verticales y horizontales, si las hay.0,5 pts
c
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.1 pt
d
Máximos y mínimos locales.0,5 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Dada la función f(x)=3ex+2f(x) = 3e^{x + 2}:
a
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva f(x)=3ex+2f(x) = 3e^{x + 2} en el punto x=−2x = -2.1,25 pts
b
Calcular el área del recinto limitado por la curva f(x)=3ex+2f(x) = 3e^{x + 2}, el eje de abscisa y la recta x=1x = 1.1,25 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Representar gráficamente la región limitada por las gráficas de las funciones f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 y g(x)=3+xg(x) = 3 + x y calcular su área.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
a
Sean AA y BB dos sucesos, tales que P(A)=0,3P(A) = 0{,}3, P(B/A)=0,6P(B/A) = 0{,}6 y P(A/B)=0,3P(A/B) = 0{,}3:1,5 pts
a.1
Calcular P(A∩B)P(A \cap B).0,5 pts
a.2
Calcular P(B)P(B). ¿Son los sucesos AA y BB independientes?, razone su respuesta.0,5 pts
a.3
Calcular P(A∪Bˉ)P(A \cup \bar{B}).0,5 pts
b
Las calificaciones de la asignatura de matemáticas de la población de una región española, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu y varianza de 1,691{,}69 puntos. Se toma una muestra aleatoria de 324324 estudiantes de la región obteniendo una calificación media de 5,845{,}84 puntos. Halla un intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del 99 %99\,\%.1 pt
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