Matemáticas II · Cataluña 2019

Calcule los puntos de intersección entre las gráficas de las diferentes funciones y haga un esbozo de la región delimitada por las gráficas.

Calcule el área de la región del apartado anterior.

Halle los valores del parámetro $a$ para los cuales la matriz es invertible.

Discuta la posición relativa de los planos $\pi_1 \colon x + (a - 1)z = 0$, $\pi_2 \colon x + ay + z = 1$ y $\pi_3 \colon 4x + 3ay + z = 3$ en función de los valores del parámetro $a$.

Calcule $A \cdot B$ y $B \cdot A$.

Justifique que si el producto de dos matrices cuadradas no nulas tiene por resultado la matriz nula, entonces el determinante de ambas matrices debe ser cero.

Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica en aquellos puntos en los que la recta tangente es horizontal.

Calcule las coordenadas del punto de la gráfica de la función $f(x)$ en el que la pendiente de la recta tangente es máximo.

Calcule los puntos $P$, $Q$ y $R$, y el perímetro del triángulo de vértices $P$, $Q$ y $R$.

Calcule el área del triángulo de vértices $P$, $Q$ y $R$.

Calcule el dominio de la función $f$, los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes de coordenadas, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.

Calcule el área de la región del plano determinada por la gráfica de la función $f$, las rectas $x = 1$ y $x = e$, y el eje de las abscisas.