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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2019

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que puedan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Considere las rectas y=xy = x y y=2xy = 2x, y la parábola y=x2y = x^2.
a
Calcule los puntos de intersección entre las gráficas de las diferentes funciones y haga un esbozo de la región delimitada por las gráficas.1 pt
b
Calcule el área de la región del apartado anterior.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Considere la matriz A=(10a−11a143a1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a - 1 \\ 1 & a & 1 \\ 4 & 3a & 1 \end{pmatrix}, en la que aa es un parámetro real.
a
Halle los valores del parámetro aa para los cuales la matriz es invertible.1 pt
b
Discuta la posición relativa de los planos π1 ⁣:x+(a−1)z=0\pi_1 \colon x + (a - 1)z = 0, π2 ⁣:x+ay+z=1\pi_2 \colon x + ay + z = 1 y π3 ⁣:4x+3ay+z=3\pi_3 \colon 4x + 3ay + z = 3 en función de los valores del parámetro aa.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sean las matrices A=(2−1−63)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} y B=(1122)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
a
Calcule A⋅BA \cdot B y B⋅AB \cdot A.1 pt
b
Justifique que si el producto de dos matrices cuadradas no nulas tiene por resultado la matriz nula, entonces el determinante de ambas matrices debe ser cero.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Considere la función f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1 + x^2}.
a
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica en aquellos puntos en los que la recta tangente es horizontal.1 pt
b
Calcule las coordenadas del punto de la gráfica de la función f(x)f(x) en el que la pendiente de la recta tangente es máximo.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Sean PP, QQ y RR los puntos de intersección del plano de ecuación x+4y+2z=4x + 4y + 2z = 4 con los tres ejes de coordenadas OXOX, OYOY y OZOZ, respectivamente.
a
Calcule los puntos PP, QQ y RR, y el perímetro del triángulo de vértices PP, QQ y RR.1 pt
b
Calcule el área del triángulo de vértices PP, QQ y RR.1 pt
Datos
  • Para calcular el área del triángulo definido por los vectores v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} puede utilizar la expresión S=12∥v⃗×w⃗∥S = \frac{1}{2} \| \vec{v} \times \vec{w} \|, en la que v⃗×w⃗\vec{v} \times \vec{w} es el producto vectorial de los vectores v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w}
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Considere la función f(x)=ln⁡(x)xf(x) = \frac{\ln(x)}{x}.
a
Calcule el dominio de la función ff, los puntos de corte de la gráfica de ff con los ejes de coordenadas, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff.1 pt
b
Calcule el área de la región del plano determinada por la gráfica de la función ff, las rectas x=1x = 1 y x=ex = e, y el eje de las abscisas.1 pt
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