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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSPaís VascoPAU 2017Ordinaria

Matemáticas CCSS · País Vasco 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. Está permitido el uso de calculadoras científicas que no sean programables. La tabla de la distribución normal está en el anverso de esta hoja.
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Sean las matrices A=(x6−3−5)A = \begin{pmatrix} x & 6 \\ -3 & -5 \end{pmatrix}, B=(32y−1)B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ y & -1 \end{pmatrix}, C=(9z−z−1)C = \begin{pmatrix} 9 & z \\ -z & -1 \end{pmatrix} y E=(122−1)E = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}.
a
¿Qué valores deben tomar los parámetros desconocidos {x,y,z}\{x, y, z\} para que se verifique la igualdad matricial A⋅B=CA \cdot B = C?1,5 pts
b
Calcula las componentes de la matriz E20E^{20}. Pista: aprovecha las simetrías en la matriz EE o el cálculo de sus primeras potencias para identificar un patrón.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Se estima que el número de enfermos de gripe en una ciudad en el instante xx está definido por la función f(x)=−3x2+24xf(x) = -3x^2 + 24x, siempre que ésta sea positiva. La variable xx se mide en semanas. Los instantes en que f(x)=0f(x) = 0 marcan el intervalo de definición de f(x)f(x) y la duración de la epidemia. El número de enfermos hospitalizados se estima por la función g(x)=−4x2+44x−96g(x) = -4x^2 + 44x - 96 cuando ésta sea positiva y g(x)=0g(x) = 0 en caso contrario.
a
Esboza una gráfica de cada una de las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x) e indica en qué puntos alcanzan su máximo cada una de ellas.1,5 pts
b
El número de personas enfermas de gripe que permanecen en su casa se estima mediante la función h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x). Escribe la expresión de la función h(x)h(x) e indica cuándo es creciente y cuándo decreciente.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Antes de acabar el curso la profesora hace una encuesta sobre las vacaciones de sus alumnos. El 30%30\% responden que harán turismo en la propia autonomía, desplazándose el 70%70\% en coche y el 30%30\% en tren. Un 45%45\% viajará a otras autonomías del Estado, desplazándose el 60%60\% en coche, el 30%30\% en tren y el 10%10\% en avión. Los restantes saldrán al extranjero, desplazándose el 60%60\% en avión, el 30%30\% en coche y el 10%10\% en tren. Si elegimos un alumno o alumna al azar, calcular:
a
Probabilidad de que haya elegido desplazarse en coche o en avión.1 pt
b
Si se va a desplazar en avión, probabilidad de que no haya elegido ir al extranjero.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
La edad de los alumnos que han acabado bachillerato sigue una distribución normal de desviación típica σ=0,35\sigma = 0{,}35 años. La edad media de una muestra de 120120 alumnos es 18,218{,}2 años. Determinar el intervalo de confianza al 96%96\% para la edad media de la población total de alumnos μ\mu que han acabado ese bachillerato.
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Para optimizar las ganancias un agricultor debe repartir sus 1010 áreas de terreno cultivando una cierta superficie de pimientos "P" y de tomates "T". Descontando gastos, el beneficio por área de pimiento es de 200200 € y de tomate 250250 €. Diariamente hay 180180 l. de agua para regar todo el terreno; un área de pimiento consume 1010 l. mientras que una de tomate 2020 l. La siembra de un área de pimiento cuesta 2020 € y de una de tomate 1010 €, siendo el presupuesto disponible 160160 €.
a
Dibuja en el plano (P,T) el recinto de posibles repartos de la superficie respetando las restricciones del problema.1,5 pts
b
Escribe la función que calcula el beneficio F(P,T)F(P,T) y encuentra el valor (P,T)(P,T) en el que se alcanza el máximo. Calcula dicho máximo.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
La función f(x)f(x) está definida a trozos. Cuando x≤0x \leq 0, f(x)=−x2−2x+3f(x) = -x^2 - 2x + 3 y cuando x>0x > 0, f(x)=ax+bf(x) = ax + b.
a
Hallar los coeficientes aa y bb para que la función f(x)f(x) sea continua en x=0x = 0 y a su vez corte al eje OXOX en x=3/2x = 3/2.1,5 pts
b
Encontrar los dos puntos de corte de la curva f(x)f(x) con el eje OXOX y calcular el área de la región limitada por la curva f(x)f(x) y el eje OXOX entre dichos puntos.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
En un laboratorio se ensaya en tres grupos de 100100 ratones con tres tipos de bacterias (A, B y C) que pueden causar neumonía. A los ratones del primer grupo se les inocula la bacteria A y el 40%40\% contraen neumonía, al segundo grupo la bacteria B y el 60%60\% contraen neumonía y al tercer grupo la bacteria C y el 25%25\% contraen neumonía. Después del experimento, se elige un ratón al azar.
a
Calcula la probabilidad de que el ratón haya contraído una neumonía.1 pt
b
Si el ratón ha contraído la neumonía, calcula la probabilidad de que pertenezca al grupo de ratones al que se le ha inoculado la bacteria de tipo B.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Una sociedad deportiva hace una campaña de captación de chicos y chicas para formar equipos de fútbol en todas sus categorías entre 1010 y 1818 años. La edad de los presentados sigue una distribución normal de desviación típica σ=2,5\sigma = 2{,}5. La media de edad en una muestra de chicos y chicas es de 13,713{,}7 años. Responder:
a
¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para asegurar que el error de la estimación de la media poblacional μ\mu no supera 0,40{,}4 años, con un nivel de confianza del 95%95\%?1 pt
b
Si la muestra fuese de 144144 chicos y chicas ¿cuál sería el nuevo intervalo de confianza para la media poblacional μ\mu con un nivel de confianza del 95%95\%?1 pt
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