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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2022

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. Cada pregunta vale 2 puntos en total y puede contener distintos apartados, cuyas puntuaciones se indican. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar)

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la siguiente función:f(x)=xe−ax2,a∈Rf(x) = xe^{-ax^2}, a \in \mathbb{R}
a
Determina los valores de a∈Ra \in \mathbb{R} para que la función sea continua en R\mathbb{R} y tenga la asíntota horizontal y=0y = 0.1 pt
b
Calcula, para el valor a=12a = \frac{1}{2}, el área que encierra la gráfica de la curva f(x)f(x) entre el eje xx y las rectas x=0x = 0 y x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Para la siguiente función:f(x)=2x3+ax2+bx+3−x3+4x2−5x+2,a,b∈Rf(x) = \frac{2x^3 + ax^2 + bx + 3}{-x^3 + 4x^2 - 5x + 2}, \quad a, b \in \mathbb{R}Calcula los valores de a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} para que lim⁡x→1f(x)=L∈R\lim_{x \to 1} f(x) = L \in \mathbb{R}, y determina el valor de dicho límite.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones:f(x)=3x+2x2f(x) = 3x + 2x^2g(x)=x2+4x+2g(x) = x^2 + 4x + 2
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Para la siguiente función:f(x)=x2+x3−x2f(x) = \frac{x^2 + x}{3 - x^2}
a
Estudia la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, así como de ramas parabólicas. Determina las asíntotas cuando existan.1,25 pts
b
Calcula la recta tangente a la función en el punto x=1x = 1.0,75 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dada la siguiente matriz:A=(1k−1k+1)A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ -1 & k + 1 \end{pmatrix}
a
Determina el valor de kk para que se verifique A2=3IA^2 = 3I, donde II es la matriz identidad de orden 2.1 pt
b
Calcula, para k=0k = 0, la matriz BnB^n con B=2A−IB = 2A - I, siendo II la matriz identidad de orden 2, y n∈Nn \in \mathbb{N}.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Dadas las siguientes matrices:A=(1−m−122mm−11),B=(100110),C=(111011001)A = \begin{pmatrix} 1 - m & -1 \\ 2 & 2m \\ m - 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Estudia, según los valores de m∈Rm \in \mathbb{R}, el rango de la matriz P=ABT+CP = AB^T + C donde BTB^T es la matriz traspuesta de BB.1 pt
b
Para el valor m=1m = 1, calcula la inversa de la matriz del apartado anterior.1 pt
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Dado el siguiente sistema:{x+ay+z=0x+y+a2z=0x+y+2az=0\begin{cases} x + ay + z = 0 \\ x + y + a^2z = 0 \\ x + y + 2az = 0 \end{cases}
a
Discute según los valores de a∈Ra \in \mathbb{R} qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible).1 pt
b
Resuelve el sistema para a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
El volumen de un tetraedro es de 10 unidades cúbicas. Si tres de sus vértices se encuentran en los puntos A(1,1,1)A(1, 1, 1), B(0,2,1)B(0, 2, 1) y C(2,0,1)C(2, 0, 1), halla las coordenadas del cuarto vértice sabiendo que se encuentra en el eje YY. Escribe todas las soluciones posibles.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
En una academia de artes escénicas se imparten clases de danza y teatro. De danza, hay modalidad de danza clásica y cabaret. En la academia, un 17% de individuos practica danza clásica, un 45% cabaret y un 5% ambas modalidades de danza. Si elegimos un individuo que asiste a dicha academia:
a
Calcula la probabilidad de que practique algún tipo de danza (o los dos).1 pt
b
Calcula la probabilidad de que practique solamente teatro.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
De los huevos que se producen diariamente en una granja, deben desecharse el 20% por no ser aptos para su consumo. Se seleccionan de manera aleatoria e independiente 5 huevos:
a
Calcula la probabilidad de que tengamos que desechar alguno de los huevos seleccionados (al menos 1).1 pt
b
1 pt
b.1
¿Qué es más probable, que haya exactamente 2 huevos no aptos, o que haya exactamente 3 huevos no aptos? Obtén estas probabilidades.0,5 pts
b.2
¿Cómo razonarías la respuesta a la pregunta anterior sin hacer uso de la calculadora?0,5 pts
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