Matemáticas II · Aragón 2022

Dada la siguiente función: $$f(x) = xe^{-ax^2}, a \in \mathbb{R}$$

Para la siguiente función: $$f(x) = \frac{2x^3 + ax^2 + bx + 3}{-x^3 + 4x^2 - 5x + 2}, \quad a, b \in \mathbb{R}$$ Calcula los valores de $a, b \in \mathbb{R}$ para que $\lim_{x \to 1} f(x) = L \in \mathbb{R}$, y determina el valor de dicho límite.

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones: $$f(x) = 3x + 2x^2$$ $$g(x) = x^2 + 4x + 2$$

Para la siguiente función: $$f(x) = \frac{x^2 + x}{3 - x^2}$$

Dada la siguiente matriz: $$A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ -1 & k + 1 \end{pmatrix}$$

Dadas las siguientes matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 - m & -1 \\ 2 & 2m \\ m - 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Dado el siguiente sistema: $$\begin{cases} x + ay + z = 0 \\ x + y + a^2z = 0 \\ x + y + 2az = 0 \end{cases}$$

El volumen de un tetraedro es de 10 unidades cúbicas. Si tres de sus vértices se encuentran en los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(0, 2, 1)$ y $C(2, 0, 1)$, halla las coordenadas del cuarto vértice sabiendo que se encuentra en el eje $Y$. Escribe todas las soluciones posibles.

En una academia de artes escénicas se imparten clases de danza y teatro. De danza, hay modalidad de danza clásica y cabaret. En la academia, un 17% de individuos practica danza clásica, un 45% cabaret y un 5% ambas modalidades de danza. Si elegimos un individuo que asiste a dicha academia:

De los huevos que se producen diariamente en una granja, deben desecharse el 20% por no ser aptos para su consumo. Se seleccionan de manera aleatoria e independiente 5 huevos: