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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2018

4 ejercicios

Instrucciones

El examen presenta dos opciones: A y B. Elige una de ellas y responde razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la matriz A=(112m−11m−1m1m−11m1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & m - 1 \\ 1 & m - 1 & m & 1 \\ m - 1 & 1 & m & 1 \end{pmatrix} donde mm es un número real.
a
Estudiar el rango de AA según los valores de mm.1,5 pts
b
Para m=−1m = -1, calcula la solución, si existe, del sistema At⋅(xyz)=(0000)A^t \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} (AtA^t matriz traspuesta).1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se quiere construir una rampa (ver gráfica) para camiones con una pendiente m=tg⁡(α)>0m = \tg(\alpha) > 0 y que salve una altura h=20h = 20 metros.
Datos
  • Se recuerda que tg⁡=tangente\tg = \text{tangente} y velocidad=espacio/tiempo\text{velocidad} = \text{espacio} / \text{tiempo}
Esquema de una rampa triangular con altura h, base b, longitud L y ángulo alfa.
a
Calcula, en función de mm, el valor de bb y comprueba que la longitud de la rampa LL se puede expresar como L(m)=20m2+1m2L(m) = 20 \sqrt{\frac{m^2 + 1}{m^2}}.0,5 pts
b
El camión se mueve a una velocidad constante que depende de la pendiente mm y se expresa, en metros por segundo, a través de la función v(m)=1mv(m) = \frac{1}{\sqrt{m}}. Demuestra que el tiempo tt, en segundos, que tarda un camión en recorrer la rampa se puede expresar como t(m)=20m2+1mt(m) = 20 \sqrt{\frac{m^2 + 1}{m}}.0,5 pts
c
Calcula la pendiente mm que hace mínimo el tiempo de recorrido de un camión.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean rr y ss dos rectas perpendiculares que se cortan. La recta rr viene dada por las ecuaciones r:x−12=y+1=−z+2r: \frac{x - 1}{2} = y + 1 = -z + 2 Calcula:
a
Un vector director v⃗1\vec{v}_1 de rr.0,75 pts
b
Un vector director v⃗2\vec{v}_2 de ss sabiendo que v⃗1×v⃗2\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 es proporcional al vector (1,0,2)(1, 0, 2).1 pt
c
Las ecuaciones del plano π\pi que contiene ambas rectas.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
En un espacio muestral se tienen dos sucesos independientes: AA y BB. Se conocen las siguientes probabilidades: p(A∩B)=0,3p(A \cap B) = 0{,}3 y p(A/B)=0,5p(A / B) = 0{,}5. Calcula:
a
p(A)p(A) y p(B)p(B).1 pt
b
p(A∪B)p(A \cup B) y p(B/A)p(B / A).1 pt
c
La probabilidad de que no ocurra ni el suceso AA ni el suceso BB.0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(1301)B=(10−101111−1)C=(120−102)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}
a
Calcula, si existe, la inversa de BB.1 pt
b
Determina, si existe, la matriz XX que verifica la relación AXB=CAXB = C.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función f(x)=1x2+x−6f(x) = \frac{1}{x^2 + x - 6}
a
Estudia su dominio de definición y calcula sus asíntotas.0,75 pts
b
Estudia sus máximos, mínimos y puntos de inflexión.0,75 pts
c
Calcula una primitiva de la función f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dado la recta r:{y=1z=0r : \begin{cases} y = 1 \\ z = 0 \end{cases}, el punto Q(1,1,1)Q(1, 1, 1) y un plano π\pi.
a
Calcula el punto PP de la recta rr que verifica d(P,Q)=1 ud(P, Q) = 1\,\text{u}.1,25 pts
b
Se sabe que Q∈πQ \in \pi y que d(P,Q)=d(P,π)d(P, Q) = d(P, \pi). Determina la ecuación del plano π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
En la siguiente tabla se muestra la distribución de un grupo de personas en relación al consumo de tabaco: Se elige en ese grupo una persona al azar. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos diferentes:
FumadorNo fumador
Hombres1030
Mujeres2040
a
Sea fumador.0,5 pts
b
Sabiendo que es fumador, se trate de una mujer.1 pt
c
Se extrae una segunda persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que una fume y la otra no?1 pt
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