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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2014

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica. Se prohíbe su utilización indebida (guardar fórmulas o texto en memoria). Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El valor del determinante de la matriz S=(2−21111−135)S = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 5 \end{pmatrix} (2 puntos) y la matriz S−1S^{-1}, que es la matriz inversa de la matriz SS (2 puntos). Indicar la relación entre que el valor del determinante de una matriz SS sea o no nulo y la propiedad de que esta matriz admita matriz inversa S−1S^{-1} (1 punto).5 pts
b
El determinante de la matriz (4(T2))−1(4(T^2))^{-1}, sabiendo que TT es una matriz cuadrada de 3 filas y que 20 es el valor del determinante de dicha matriz TT.3 pts
c
La solución aa de la ecuación (aa2−1−3a+12a2+4−34a1)=(aa+1−3a2−124a−3a2+41)\begin{pmatrix} a & a^2 - 1 & -3 \\ a + 1 & 2 & a^2 + 4 \\ -3 & 4a & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a + 1 & -3 \\ a^2 - 1 & 2 & 4a \\ -3 & a^2 + 4 & 1 \end{pmatrix}.2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan los puntos A=(1,5,7)A = (1, 5, 7) y B=(3,−1,−1)B = (3, -1, -1). Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Las ecuaciones de los planos π1\pi_1 y π2\pi_2 que son perpendiculares a la recta rr que pasa por los puntos AA y BB, sabiendo que el plano π1\pi_1 pasa por el punto AA y el plano π2\pi_2 pasa por el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos AA y BB.4 pts
b
La distancia entre los planos π1\pi_1 y π2\pi_2.2 pts
c
Las ecuaciones de la recta rr que pasa por los puntos AA y BB (2 puntos), y los puntos de la recta rr que están a distancia 3 del punto C=(1,0,1)C = (1, 0, 1) (2 puntos).4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Sea ff la función real definida por f(x)=xex−3xf(x) = xe^x - 3x. Se pide la obtención razonada, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, de:
a
Los puntos de corte de la curva y=f(x)y = f(x) con el eje XX.2 pts
b
El punto de inflexión de la curva y=f(x)y = f(x) (2 puntos), así como la justificación razonada de que la función ff es creciente cuando x>2x > 2 (2 puntos).4 pts
c
El área limitada por el eje XX y la curva y=f(x)y = f(x), cuando 0≤x≤ln⁡30 \leq x \leq \ln 3, donde ln⁡\ln significa logaritmo neperiano.4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Se tiene el sistema de ecuaciones lineales {(1−α)x+2y+z=4x+y−2z=−4x+4y−(α+1)z=−2α\begin{cases} (1 - \alpha)x + 2y + z = 4 \\ x + y - 2z = -4 \\ x + 4y - (\alpha + 1)z = -2\alpha \end{cases} donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los valores del parámetro α\alpha para los que el sistema es incompatible.3 pts
b
Los valores del parámetro α\alpha para los que el sistema es compatible y determinado.3 pts
c
Todas las soluciones del sistema cuando α=2\alpha = 2.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan las rectas r{x−y=0z=10r \begin{cases} x - y = 0 \\ z = 10 \end{cases} y s{x+y=8x+y+z=13s \begin{cases} x + y = 8 \\ x + y + z = 13 \end{cases}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Un vector director de cada recta (2 puntos) y la posición relativa de las rectas rr y ss (2 puntos).4 pts
b
La ecuación del plano que contiene a la recta ss y es paralelo a la recta rr.3 pts
c
La distancia entre las rectas rr y ss.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Un club deportivo alquila un avión de 80 plazas para realizar un viaje a la empresa VR. Hay 60 miembros del club que han reservado su billete. En el contrato de alquiler se indica que el precio de un billete será 800 euros si sólo viajan 60 personas, pero que el precio por billete disminuye en 10 euros por cada viajero adicional a partir de esos 60 viajeros que ya han reservado el billete. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El total que cobra la empresa VR si viatjan 61, 70 y 80 pasajeros.1 pt
b
El total que cobra la empresa VR si viajan 60+x60 + x pasajeros, siendo 0≤x≤200 \leq x \leq 20.4 pts
c
El número de pasajeros entre 60 y 80 que maximiza lo que cobra en total la empresa VR.5 pts
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