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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2023

8 ejercicios

Instrucciones

Realiza cuatro preguntas de las ocho que se presentan.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que sea compatible:{ax+y−2z=13ax+a2y−2a2z=3−ax−y+(a2−1)z=a+3−1\begin{cases} ax + y - 2z = 1 \\ 3ax + a^2y - 2a^2z = 3 \\ -ax - y + (a^2 - 1)z = a + \sqrt{3} - 1 \end{cases}Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula el valor de aa para que la siguiente matriz no sea regularA=(−32−1−1−201a+3−3122−2022)A = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & a + 3 \\ -3 & 1 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P(−3,−2,3)P(-3, -2, 3) y que corta a las rectas rr y ss, siendor≡{x+y−z−1=0x−y+2z+1=0ys≡x−3−1=y+52=z+31r \equiv \begin{cases} x + y - z - 1 = 0 \\ x - y + 2z + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z + 3}{1}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Halla el plano paralelo a rr y ss que se encuentra a 3 u3\,\text{u} de rr y 6 u6\,\text{u} de ss siendor≡{2x−y+2z+7=05x+2y+2z−2=0ys≡x−12=y+30=z−5−1r \equiv \begin{cases} 2x - y + 2z + 7 = 0 \\ 5x + 2y + 2z - 2 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{0} = \frac{z - 5}{-1}
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Calcula las derivadas de las siguientes funciones y sus valores en el punto x=0x = 0:
a
f(x)=ln⁡[cos⁡(πx)⋅ex2+2x]f(x) = \ln [\cos(\pi x) \cdot e^{x^2 + 2x}]1,25 pts
b
g(x)=arctg⁡1+2x+e2xg(x) = \arctg \sqrt{1 + 2x + e^{2x}}1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=cos⁡[π2(x−1)]x2−6x+10f(x) = \frac{\cos [\frac{\pi}{2}(x - 1)]}{x^2 - 6x + 10}.
a
Estudia la continuidad de la función en el intervalo [1,4][1, 4].0,75 pts
b
Comprueba que existen dos valores α\alpha y β\beta en el intervalo (1,4)(1, 4) tales que f(α)=−12=f(β)f(\alpha) = \frac{-1}{2} = f(\beta). Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.1,75 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=12−sen⁡πx6f(x) = \sqrt{\frac{1}{2} - \sen \frac{\pi x}{6}}
a
Demuestra que la función es continua en el intervalo [7,11][7, 11] y derivable en (7,11)(7, 11).1,25 pts
b
Comprueba que existe un valor α∈(7,11)\alpha \in (7, 11) tal que f′(α)=0f'(\alpha) = 0. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.1,25 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
La curva de la imagen corresponde a la función f(x)=x⋅sen⁡xf(x) = x \cdot \sen x. Tal y como se intuye, la curva corta el eje OX en infinitos puntos. Encuentra los puntos PP y QQ, y, a continuación, calcula el área de la región del plano sombreada.
Gráfica de la función $f(x) = x \sen(x)$ mostrando los puntos de corte $P$ y $Q$ con el eje OX y las áreas sombreadas entre la curva y el eje.
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