Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2017

Se da el sistema de ecuaciones $\begin{cases} -x + ay + 2z = a \\ 2x + ay - z = 2 \\ ax - y + 2z = a \end{cases}$, dependiente del parámetro real $a$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Se dan el punto $P = (1, 1, 1)$, la recta $r : \begin{cases} x + y - z + 1 = 0 \\ x + 2y - z - 1 = 0 \end{cases}$ y el plano $\pi : x + y + z = 1$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, las ecuaciones de:

Sea $T$ un tetraedro de vértices $O = (0, 0, 0)$, $A = (1, 1, 1)$, $B = (3, 0, 0)$ y $C = (0, 3, 0)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Se desea unir un punto $M$ situado en un lado de una calle, de $6\,\text{m}$ de anchura, con el punto $N$ situado en el otro lado de la calle, $18\,\text{m}$ más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde $M$ hasta un punto $P$, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto $P$ hasta el punto $N$. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que $M = (0, 6)$, $P = (x, 0)$ y $N = (18, 0)$. El cable $MP$ tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de $10\,\text{€/m}$. El precio del cable $PN$ es de $5\,\text{€/m}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Dada la función $f$ definida por $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$, para cualquier valor real $x \neq 0$, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: