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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2017

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solamente UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {−x+ay+2z=a2x+ay−z=2ax−y+2z=a\begin{cases} -x + ay + 2z = a \\ 2x + ay - z = 2 \\ ax - y + 2z = a \end{cases}, dependiente del parámetro real aa. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La solución del sistema cuando a=2a = 2.3 pts
b
Los valores del parámetro aa para los que el sistema es compatible y determinado.3 pts
c
El valor del parámetro aa para el que el sistema es compatible e indeterminado y obtener todas las soluciones del sistema para ese valor de aa.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan el punto P=(1,1,1)P = (1, 1, 1), la recta r:{x+y−z+1=0x+2y−z−1=0r : \begin{cases} x + y - z + 1 = 0 \\ x + 2y - z - 1 = 0 \end{cases} y el plano π:x+y+z=1\pi : x + y + z = 1. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, las ecuaciones de:
a
El plano que contiene al punto PP y a la recta rr.2 pts
b
La recta ss que pasa por el punto PP y es perpendicular al plano π\pi, la distancia del punto PP al plano π\pi y el punto de intersección de la recta ss con el plano π\pi.6 pts
c
El plano σ\sigma que contiene a la recta rr y es perpendicular al plano π\pi.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se desea unir un punto MM situado en un lado de una calle, de 6 m6\,\text{m} de anchura, con el punto NN situado en el otro lado de la calle, 18 m18\,\text{m} más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde MM hasta un punto PP, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto PP hasta el punto NN. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que M=(0,6)M = (0, 6), P=(x,0)P = (x, 0) y N=(18,0)N = (18, 0). El cable MPMP tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de 10 €/m10\,\text{€/m}. El precio del cable PNPN es de 5 €/m5\,\text{€/m}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El costo total CC de los dos cables en función de la abscisa xx del punto PP, cuando 0≤x≤180 \leq x \leq 18.3 pts
b
El valor de xx, con 0≤x≤180 \leq x \leq 18, para el que el costo total CC es mínimo.4 pts
c
El valor de dicho costo total mínimo.3 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La comprobación de que C2=2C−IC^2 = 2C - I, siendo C=(5−422−11−44−1)C = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} e II la matriz identidad de orden 3×33 \times 3, y el cálculo de la matriz C4C^4.5 pts
b
El valor del determinante de la matriz (3A4)(4A2)−1(3A^4)(4A^2)^{-1}, sabiendo que AA es una matriz cuadrada de cuatro columnas cuyo determinante vale −1-1.3 pts
c
La matriz BB que admite inversa y que verifica la igualdad BB=BBB = B.2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Sea TT un tetraedro de vértices O=(0,0,0)O = (0, 0, 0), A=(1,1,1)A = (1, 1, 1), B=(3,0,0)B = (3, 0, 0) y C=(0,3,0)C = (0, 3, 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La ecuación del plano π\pi que contiene a los puntos AA, BB y CC, y las ecuaciones de la recta hoh_o perpendicular a π\pi que pasa por OO.3 pts
b
El punto de intersección de la altura hoh_o y el plano π\pi.3 pts
c
El área de la cara cuyos vértices son los puntos AA, BB y CC, y el volumen del tetraedro TT.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dada la función ff definida por f(x)=x2+1xf(x) = \frac{x^2 + 1}{x}, para cualquier valor real x≠0x \neq 0, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff, y los extremos relativos de la función ff.3 pts
b
Las asíntotas de la curva y=f(x)y = f(x).3 pts
c
El área de la región plana limitada por la curva y=x2+1xy = \frac{x^2 + 1}{x}, 1≤x≤e1 \leq x \leq e, el segmento que une los puntos (1,0)(1, 0) y (e,0)(e, 0), y las rectas x=1x = 1 y x=ex = e.4 pts
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