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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2015

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solamente UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se dan las matrices A=(1−322)A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} y B=(132−2)B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La matriz inversa de la matriz AA.3 pts
b
Las matrices XX e YY de orden 2×22 \times 2 tales que XA=BXA = B y AY=BAY = B.3 pts
c
Justificar razonadamente que si MM es una matriz cuadrada tal que M2=IM^2 = I, donde II es la matriz identidad del mismo orden que MM, entonces se verifica la igualdad M3=M7M^3 = M^7.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La ecuación del plano π\pi que pasa por el punto P(2,0,1)P(2, 0, 1) y es perpendicular a la recta r:{x+2y=0z=0r: \begin{cases} x + 2y = 0 \\ z = 0 \end{cases}3 pts
b
Las coordenadas del punto QQ situado en la intersección de la recta rr y del plano π\pi.5 pts
c
La distancia del punto PP a la recta rr, y justificar razonadamente que la distancia del punto PP a un punto cualquiera de la recta rr es mayor o igual que 355\frac{3\sqrt{5}}{5}.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función real ff definida por f(x)=(x−1)(x−3)f(x) = (x - 1)(x - 3), siendo xx un número real.3 pts
b
El área del recinto acotado limitado entre las curvas y=(x−1)(x−3)y = (x - 1)(x - 3) e y=−(x−1)(x−3)y = -(x - 1)(x - 3).4 pts
c
El valor positivo de aa para el cual el área limitada entre la curva y=a(x−1)(x−3)y = a(x - 1)(x - 3), el eje YY y el segmento que une los puntos (0,0)(0, 0) y (0,1)(0, 1) es 4/34/3.3 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {(1−α)x+(2α+1)y+(2α+2)z=ααx+αy=2α+22x+(α+1)y+(α−1)z=α2−2α+9\begin{cases} (1 - \alpha)x + (2\alpha + 1)y + (2\alpha + 2)z = \alpha \\ \alpha x + \alpha y = 2\alpha + 2 \\ 2x + (\alpha + 1)y + (\alpha - 1)z = \alpha^2 - 2\alpha + 9 \end{cases} donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Todas las soluciones del sistema cuando α=1\alpha = 1.3 pts
b
La justificación razonada de si el sistema es compatible o incompatible cuando α=2\alpha = 2.3 pts
c
Los valores de α\alpha para los que el sistema es compatible y determinado.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan las rectas r:{x−y+3=02x−z+2=0r: \begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x - z + 2 = 0 \end{cases} y s:{3y+1=0x−2z−3=0s: \begin{cases} 3y + 1 = 0 \\ x - 2z - 3 = 0 \end{cases}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El plano paralelo a la recta ss que contiene a la recta rr.3 pts
b
La recta tt que pasa por el punto (0,0,0)(0, 0, 0), sabiendo que un vector director de tt es perpendicular a un vector director de rr y también es perpendicular a un vector director de ss.3 pts
c
Averiguar razonadamente si existe o no un plano perpendicular a ss que contenga a la recta rr.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Un pueblo está situado en el punto A(0,4)A(0, 4) de un sistema de referencia cartesiano. El tramo de un río situado en el término municipal del pueblo describe la curva y=x24y = \frac{x^2}{4}, siendo −6≤x≤6-6 \leq x \leq 6. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La distancia entre un punto P(x,y)P(x, y) del río y el pueblo en función de la abscisa xx de PP.2 pts
b
El punto o puntos del tramo del río situados a distancia mínima del pueblo.4 pts
c
El punto o puntos del tramo del río situados a distancia máxima del pueblo.4 pts
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