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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2015

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Se dan las matrices A=(1−322)A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} y B=(132−2)B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
La matriz inversa de la matriz AA.
b)3 pts
Las matrices XX e YY de orden 2×22 \times 2 tales que XA=BXA = B y AY=BAY = B.
c)4 pts
Justificar razonadamente que si MM es una matriz cuadrada tal que M2=IM^2 = I, donde II es la matriz identidad del mismo orden que MM, entonces se verifica la igualdad M3=M7M^3 = M^7.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {(1−α)x+(2α+1)y+(2α+2)z=ααx+αy=2α+22x+(α+1)y+(α−1)z=α2−2α+9\begin{cases} (1 - \alpha)x + (2\alpha + 1)y + (2\alpha + 2)z = \alpha \\ \alpha x + \alpha y = 2\alpha + 2 \\ 2x + (\alpha + 1)y + (\alpha - 1)z = \alpha^2 - 2\alpha + 9 \end{cases} donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
Todas las soluciones del sistema cuando α=1\alpha = 1.
b)3 pts
La justificación razonada de si el sistema es compatible o incompatible cuando α=2\alpha = 2.
c)4 pts
Los valores de α\alpha para los que el sistema es compatible y determinado.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
La ecuación del plano π\pi que pasa por el punto P(2,0,1)P(2, 0, 1) y es perpendicular a la recta r:{x+2y=0z=0r: \begin{cases} x + 2y = 0 \\ z = 0 \end{cases}
b)5 pts
Las coordenadas del punto QQ situado en la intersección de la recta rr y del plano π\pi.
c)2 pts
La distancia del punto PP a la recta rr, y justificar razonadamente que la distancia del punto PP a un punto cualquiera de la recta rr es mayor o igual que 355\frac{3\sqrt{5}}{5}.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Se dan las rectas r:{x−y+3=02x−z+2=0r: \begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x - z + 2 = 0 \end{cases} y s:{3y+1=0x−2z−3=0s: \begin{cases} 3y + 1 = 0 \\ x - 2z - 3 = 0 \end{cases}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
El plano paralelo a la recta ss que contiene a la recta rr.
b)3 pts
La recta tt que pasa por el punto (0,0,0)(0, 0, 0), sabiendo que un vector director de tt es perpendicular a un vector director de rr y también es perpendicular a un vector director de ss.
c)4 pts
Averiguar razonadamente si existe o no un plano perpendicular a ss que contenga a la recta rr.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función real ff definida por f(x)=(x−1)(x−3)f(x) = (x - 1)(x - 3), siendo xx un número real.
b)4 pts
El área del recinto acotado limitado entre las curvas y=(x−1)(x−3)y = (x - 1)(x - 3) e y=−(x−1)(x−3)y = -(x - 1)(x - 3).
c)3 pts
El valor positivo de aa para el cual el área limitada entre la curva y=a(x−1)(x−3)y = a(x - 1)(x - 3), el eje YY y el segmento que une los puntos (0,0)(0, 0) y (0,1)(0, 1) es 4/34/3.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Un pueblo está situado en el punto A(0,4)A(0, 4) de un sistema de referencia cartesiano. El tramo de un río situado en el término municipal del pueblo describe la curva y=x24y = \frac{x^2}{4}, siendo −6≤x≤6-6 \leq x \leq 6. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)2 pts
La distancia entre un punto P(x,y)P(x, y) del río y el pueblo en función de la abscisa xx de PP.
b)4 pts
El punto o puntos del tramo del río situados a distancia mínima del pueblo.
c)4 pts
El punto o puntos del tramo del río situados a distancia máxima del pueblo.
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