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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSExtremaduraPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Extremadura 2017

3 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Elegir una opción entre las dos que se proponen. Calificación máxima de la prueba: 10 puntos. Problema 1: de 0 a 3.5 puntos; Problema 2: de 0 a 3 puntos; Problema 3: de 0 a 3.5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,5 puntos
Un taller de confección textil produce dos categorías de trajes de señora y de caballero. Dispone de material para fabricar diariamente 80 trajes de señora y 60 trajes de caballero. Si tiene que fabricar diariamente como máximo 100 unidades totales y el beneficio obtenido por cada traje de señora es de 150 euros y de 200 euros por traje de caballero, se pide:
a
¿Cuántos trajes de cada tipo han de fabricarse diariamente para hacer máximo el beneficio?3 pts
b
El valor de dicho beneficio máximo.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
En el estudio en un laboratorio del tratamiento con antibióticos frente a una bacteria patógena durante 7 días, se ha encontrado que el número de bacterias vivas (en miles) a lo largo de estos días ha variado de acuerdo con la función:B(t)=−t3+12t2−36t+80,1≤t≤7B(t) = -t^3 + 12t^2 - 36t + 80, \quad 1 \leq t \leq 7Siendo BB el número de bacterias vivas (en miles) y tt el día de realización del estudio. Se pide, justificando las respuestas:
a
Determinar los días del estudio en los que se ha observado el número máximo y mínimo de bacterias vivas.1,5 pts
b
Hallar los valores de dichos valores máximo y mínimo.0,5 pts
c
Representar de forma aproximada la función B(t)B(t) a lo largo de los 7 días del estudio.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,5 puntos
Para realizar el control de calidad en la fabricación de protectores de pantallas de dispositivos móviles se utiliza el intervalo de confianza al 99% del grosor de los mismos. Se sabe que la distribución del grosor es una normal de desviación típica conocida de 0,1 mm0{,}1\,\text{mm}. Una empresa quiere crear su intervalo de confianza y muestrea diez protectores con los siguientes grosores (en mm):0,500,430,370,270,600,320,310,270,400,360{,}50 \quad 0{,}43 \quad 0{,}37 \quad 0{,}27 \quad 0{,}60 \quad 0{,}32 \quad 0{,}31 \quad 0{,}27 \quad 0{,}40 \quad 0{,}36
Gráfico de una distribución normal con áreas sombreadas en las colas correspondientes a alfa/2 y valores críticos -z_alfa y z_alfa.
a
Calcular el intervalo de confianza al 99% del grosor medio de los protectores.2,5 pts
b
Para que el intervalo de confianza sea útil, su longitud debe ser 0,050{,}05. ¿Cuántos protectores necesita muestrear la empresa para obtener esa precisión?1 pt
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Ejercicio 1

1
3,5 puntos
Dadas las matricesA=(−121210100),B=(1−123014−13),I=(100010001)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 4 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Determinar si existen las matrices inversas de AA y BB. En caso afirmativo, calcularlas.2 pts
b
Resolver la ecuación matricial A⋅X+B=IA \cdot X + B = I.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
La demanda de un producto es función de su precio según la expresiónD(x)={Ax−x2si 20≤x≤30600−Bxsi 30<x≤60D(x) = \begin{cases} Ax - x^2 & \text{si } 20 \leq x \leq 30 \\ 600 - Bx & \text{si } 30 < x \leq 60 \end{cases}donde DD denota la demanda en unidades y xx el precio en euros. Se sabe que la demanda para x=30x = 30 es de 300 unidades y que la función es continua.
a
Determinar las constantes AA y BB. Justificar la respuesta.1,5 pts
b
Representar gráficamente la demanda en función de xx.1 pt
c
Comprobar si la función D(x)/(x−25)D(x)/(x - 25) tiene alguna asíntota. Encontrarla en caso afirmativo. Justificar la respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
3,5 puntos
Una región de bosques está dividida en 3 zonas A, B y C. Para el próximo verano la probabilidad de incendio en cada zona es de 0,10{,}1, 0,10{,}1 y 0,10{,}1 respectivamente. En cada zona sólo puede producirse, como máximo, un incendio. Si consideramos que los incendios se producen de forma independiente entre las zonas:
a
¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún incendio?1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos incendios?1 pt
c
Si se sabe que ha habido sólo un incendio, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la zona A?1,5 pts
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