Matemáticas CCSS · Extremadura 2017

Un taller de confección textil produce dos categorías de trajes de señora y de caballero. Dispone de material para fabricar diariamente 80 trajes de señora y 60 trajes de caballero. Si tiene que fabricar diariamente como máximo 100 unidades totales y el beneficio obtenido por cada traje de señora es de 150 euros y de 200 euros por traje de caballero, se pide:

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 4 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

En el estudio en un laboratorio del tratamiento con antibióticos frente a una bacteria patógena durante 7 días, se ha encontrado que el número de bacterias vivas (en miles) a lo largo de estos días ha variado de acuerdo con la función: $$B(t) = -t^3 + 12t^2 - 36t + 80, \quad 1 \leq t \leq 7$$ Siendo $B$ el número de bacterias vivas (en miles) y $t$ el día de realización del estudio. Se pide, justificando las respuestas:

La demanda de un producto es función de su precio según la expresión $$D(x) = \begin{cases} Ax - x^2 & \text{si } 20 \leq x \leq 30 \\ 600 - Bx & \text{si } 30 < x \leq 60 \end{cases}$$ donde $D$ denota la demanda en unidades y $x$ el precio en euros. Se sabe que la demanda para $x = 30$ es de 300 unidades y que la función es continua.

Para realizar el control de calidad en la fabricación de protectores de pantallas de dispositivos móviles se utiliza el intervalo de confianza al 99% del grosor de los mismos. Se sabe que la distribución del grosor es una normal de desviación típica conocida de $0{,}1\,\text{mm}$. Una empresa quiere crear su intervalo de confianza y muestrea diez protectores con los siguientes grosores (en mm): $$0{,}50 \quad 0{,}43 \quad 0{,}37 \quad 0{,}27 \quad 0{,}60 \quad 0{,}32 \quad 0{,}31 \quad 0{,}27 \quad 0{,}40 \quad 0{,}36$$

Una región de bosques está dividida en 3 zonas A, B y C. Para el próximo verano la probabilidad de incendio en cada zona es de $0{,}1$, $0{,}1$ y $0{,}1$ respectivamente. En cada zona sólo puede producirse, como máximo, un incendio. Si consideramos que los incendios se producen de forma independiente entre las zonas: