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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2016Ordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Es dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Podeis utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
a
Discutid para qué valores de mm el sistema siguiente tiene solución:{x+my+z=13x+2y+z=−1mx+y−z=−1\begin{cases} x + my + z = 1 \\ 3x + 2y + z = -1 \\ mx + y - z = -1 \end{cases}7 pts
b
Resolvedlo, si es posible, cuando m=1m = 1.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
La función f(x)=x3+ax2+bxf(x) = x^3 + ax^2 + bx tiene un extremo relativo en x=2x = 2 y un punto de inflexión en x=3x = 3.
a
Calculad los valores de aa y bb.8 pts
b
Determinad si este extremo es un máximo o un mínimo relativo de ff.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Contestad los apartados siguientes:
a
Si la probabilidad de la intersección de dos sucesos independientes es 0,20{,}2 y la de su unión es 0,70{,}7, ¿cuál es la probabilidad de cada uno de los sucesos?5 pts
b
En un experimento se sabe que p(A)=0,6p(A) = 0{,}6, p(B)=0,3p(B) = 0{,}3 y p(A∣B)=0,1p(A|B) = 0{,}1. Calculad p(A∪B)p(A \cup B).5 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Se supone que la cantidad de agua (en litros) recogida cada día en una estación meteorológica se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica σ=2\sigma = 2. Se elige una muestra aleatoria simple y se obtienen las siguientes cantidades de agua recogidas cada día en litros:8,8;3,8;6,5;3,6;5,5;7,5;3,5;8,9;7,9;48{,}8; 3{,}8; 6{,}5; 3{,}6; 5{,}5; 7{,}5; 3{,}5; 8{,}9; 7{,}9; 4
a
Determinad un intervalo de confianza para la cantidad media de agua recogida cada día en la estación, con un nivel de confianza del 95%.5 pts
b
Calculad el tamaño muestral mínimo necesario para que al estimar la media de agua recogida cada día en la estación meteorológica mediante la media de esta muestra, la amplitud del intervalo de confianza sea inferior a un litro, con un nivel de confianza del 98%.5 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Sean A=(−131y+x77)A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ y + x & 7 & 7 \end{pmatrix} y B=(−1x+y13x+y+zx+y+z)B = \begin{pmatrix} -1 & x + y & 1 \\ 3 & x + y + z & x + y + z \end{pmatrix} dos matrices de orden 2×32 \times 3, donde x,y,zx, y, z denotan tres números reales por determinar.
a
Responda a los siguientes apartados sobre las matrices AA y BB:7 pts
a.1
Determinad los valores de x,y,zx, y, z de manera que A=BA = B.5 pts
a.2
¿Es posible el cálculo A⋅BA \cdot B? Razonad la respuesta.2 pts
b
Dad un ejemplo de cada una de las matrices siguientes: una matriz identidad, una matriz simétrica, y una matriz diagonal que no sea la matriz unidad.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se quiere organizar un puente aéreo entre las islas de Mallorca y Menorca, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar como mínimo 1600 personas y 96 toneladas de equipaje y mercancías. Para hacer esto se dispone de dos tipos de aviones, 11 de tipo A y 8 de tipo B. La contratación de un avión de tipo A cuesta 4000 € y puede transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje y mercancías; los aviones de tipo B cuestan 1000 € cada uno y pueden transportar 100 personas y 15 toneladas. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo? Se debe plantear el problema como un problema de programación lineal, dibujando la región factible de soluciones y determinando y dibujando sus vértices.
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Ejercicio 3

3
10 puntos
El beneficio neto, en miles de euros, obtenido por la venta de xx unidades de un artículo viene dado por la función B(x)=−x2+9x−16B(x) = -x^2 + 9x - 16
a
¿Cuál es la función que determina el beneficio neto unitario?2 pts
b
Calculad el número de unidades del artículo que se han de vender para obtener un beneficio neto por unidad máximo.7 pts
c
Determinad este beneficio neto máximo por unidad.1 pt
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Una empresa dedicada a la elaboración de productos derivados del maíz tiene una determinada máquina que envasa los granos de maíz en bolsas que siguen una distribución normal con μ=250 g\mu = 250\,\text{g} y σ=25 g\sigma = 25\,\text{g}. Las bolsas se empaquetan en cajas (paquetes) de 200 unidades.
Datos
  • 2≈1,4142\sqrt{2} \approx 1{,}4142
a
Determinad la distribución de las medias de las muestras.2 pts
b
Calculad la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea más pequeña que 245 g245\,\text{g}.3 pts
c
Calculad la probabilidad de que una caja de 200 bolsas pese más de 51 kg51\,\text{kg}.5 pts
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