Matemáticas CCSS · Baleares 2016

Sean $A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ y + x & 7 & 7 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & x + y & 1 \\ 3 & x + y + z & x + y + z \end{pmatrix}$ dos matrices de orden $2 \times 3$, donde $x, y, z$ denotan tres números reales por determinar.

La función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ tiene un extremo relativo en $x = 2$ y un punto de inflexión en $x = 3$.

Se quiere organizar un puente aéreo entre las islas de Mallorca y Menorca, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar como mínimo 1600 personas y 96 toneladas de equipaje y mercancías. Para hacer esto se dispone de dos tipos de aviones, 11 de tipo A y 8 de tipo B. La contratación de un avión de tipo A cuesta 4000 € y puede transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje y mercancías; los aviones de tipo B cuestan 1000 € cada uno y pueden transportar 100 personas y 15 toneladas. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo? Se debe plantear el problema como un problema de programación lineal, dibujando la región factible de soluciones y determinando y dibujando sus vértices.

Contestad los apartados siguientes:

El beneficio neto, en miles de euros, obtenido por la venta de $x$ unidades de un artículo viene dado por la función $$B(x) = -x^2 + 9x - 16$$

Se supone que la cantidad de agua (en litros) recogida cada día en una estación meteorológica se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica $\sigma = 2$. Se elige una muestra aleatoria simple y se obtienen las siguientes cantidades de agua recogidas cada día en litros: $$8{,}8; 3{,}8; 6{,}5; 3{,}6; 5{,}5; 7{,}5; 3{,}5; 8{,}9; 7{,}9; 4$$

Una empresa dedicada a la elaboración de productos derivados del maíz tiene una determinada máquina que envasa los granos de maíz en bolsas que siguen una distribución normal con $\mu = 250\,\text{g}$ y $\sigma = 25\,\text{g}$. Las bolsas se empaquetan en cajas (paquetes) de 200 unidades.