Matemáticas II · Cantabria 2010

Considera el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + 3y + z = 5 \\ mx + 2z = 0 \\ my - z = m \end{cases}$$ donde $m \in \mathbb{R}$. Estúdialo para los distintos valores del parámetro y resuélvelo cuando sea compatible (calculando todas sus soluciones).

Sean $A$ una matriz $3 \times 3$, $B$ una matriz $3 \times 1$ y no nula, $O$ la matriz nula (cero) $3 \times 1$. Considera los dos sistemas de ecuaciones lineales siguientes: $$AX = B \quad \text{y} \quad AX = O$$ Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. En el caso de que consideres que la afirmación es falsa pon un ejemplo ilustrativo.

Se desea cortar una alfombra rectangular para un pasillo teniendo en cuenta que sus bordes se rematarán con dos tipos de cinta. Una cinta de lujo, con un precio de 50 € por metro, se empleará para dos bordes opuestos, y una cinta convencional, con un precio de 30 € por metro, se empleará para los otros dos bordes.

Considera la función: $h(x) = \frac{27}{x} + ax + b$.

Los puntos $A = (2, 1, 0)$ y $B = (-1, 3, -2)$ son dos vértices consecutivos de un paralelogramo cuyo centro es el punto $M = (1, 1, 1)$.

Considera las rectas: $$r_1 = \begin{cases} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 1 \end{cases} (t \in \mathbb{R}) \quad \text{y} \quad r_2 = \begin{cases} x = 2 + s \\ y = 1 \\ z = m + s \end{cases} (s \in \mathbb{R})$$