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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2023

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. Cada pregunta vale 2 puntos en total y puede contener distintos apartados, cuyas puntuaciones se indican. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar)

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sea la siguiente funciónf(x)={ax−sen⁡xx+2,x≠02,x=0,a∈R.f(x) = \begin{cases} ax - \frac{\sen x}{x} + 2, & x \neq 0 \\ 2, & x = 0 \end{cases}, \quad a \in \mathbb{R}.
a
Estudia su continuidad en R\mathbb{R} según los valores de aa.1 pt
b
Calcula el valor de aa para que f(x)f(x) tenga un extremo relativo en x=−π2x = -\frac{\pi}{2} y di qué tipo de extremo es.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Calcula el siguiente límitelim⁡x→+∞[(x+1)2x2+3x+1]ln⁡x.\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{(x + 1)^2}{x^2 + 3x + 1} \right]^{\ln x}.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x)=−x2+4xf(x) = -x^2 + 4x y la recta de pendiente 12\frac{1}{2} que corta a f(x)f(x) en x=72x = \frac{7}{2}.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dada la siguiente funciónf(x)=2x−1x2−x−2,f(x) = \frac{2x - 1}{\sqrt{x^2 - x - 2}},
a
Estudia y escribe su dominio de definición.0,75 pts
b
Estudia la existencia de asíntotas y ramas parabólicas. Determina las asíntotas caso de existir.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Sean las siguientes matrices:A=(−21201−1),B=(1011−20),C=(2310),D=A⋅BT−2I,A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, D = A \cdot B^T - 2I,donde BTB^T es la matriz traspuesta de BB e II es la matriz identidad de orden 3.
a
Estudia si la matriz DD tiene inversa y, en caso afirmativo, calcúlala.1 pt
b
Resuelve la ecuación matricial CX=AT⋅BCX = A^T \cdot B, donde ATA^T es la matriz traspuesta de AA.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Dado el siguiente sistema:{−x+mz=0my+2z=2+m2x+y=2m\begin{cases} -x + mz = 0 \\ my + 2z = 2 + m^2 \\ x + y = 2m \end{cases}
a
Discute según los valores de m∈Rm \in \mathbb{R}, qué tipo de sistema es atendiendo a las posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible).1,2 pts
b
Resuelve el sistema para el valor m=1m = 1.0,8 pts
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Sean las matricesA=(121−1−2),B=(−3521).A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.
a
Calcula la matriz AnA^n para n∈Nn \in \mathbb{N}.1 pt
b
Resuelve la ecuación (A+2I)X=B(A + 2I)X = B, donde II es la matriz identidad de orden 2.1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
El plano π≡2x+by−2z+4=0\pi \equiv 2x + by - 2z + 4 = 0, b∈Rb \in \mathbb{R} y b≠0b \neq 0, corta a los ejes de coordenadas en tres puntos AA, BB y CC. Calcula los valores de b∈Rb \in \mathbb{R} tal que el área del triángulo que determinan estos tres puntos AA, BB y CC sea 6 u26\,\text{u}^2.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Si los vectores {u⃗,v⃗,w⃗}\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} son linealmente independientes,
a
Comprueba si los vectores {r⃗,s⃗,t⃗}\{\vec{r}, \vec{s}, \vec{t}\} son linealmente dependientes o independientes, siendor⃗=2u⃗+w⃗,s⃗=u⃗+v⃗−w⃗,t⃗=−3u⃗−v⃗+w⃗.\vec{r} = 2\vec{u} + \vec{w}, \quad \vec{s} = \vec{u} + \vec{v} - \vec{w}, \quad \vec{t} = -3\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}.1 pt
b
Si además, los vectores {u⃗,v⃗,w⃗}\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} son ortogonales y unitarios, calcula razonadamente u⃗⋅r⃗+v⃗⋅s⃗+w⃗⋅t⃗\vec{u} \cdot \vec{r} + \vec{v} \cdot \vec{s} + \vec{w} \cdot \vec{t}, donde ⋅\cdot representa el producto escalar de dos vectores.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
El contenido total en sulfitos (medido en mg/l) del vino que se produce en una bodega, sigue una distribución normal de media 150 mg/l150\,\text{mg/l} y desviación típica 30 mg/l30\,\text{mg/l}. La bodega se compromete a vender solamente vinos con un contenido total en sulfitos inferior a 200 mg/l200\,\text{mg/l}, por lo que se desechan para la venta aquellos que superen esta cantidad. Se pide,
a
¿Cuál es la probabilidad de que un vino producido en la bodega se deseche por la elevada cantidad total de sulfitos?1 pt
b
¿Qué porcentaje de los vinos producidos en esta bodega tienen un contenido total en sulfitos entre 110110 y 150 mg/l150\,\text{mg/l}?1 pt
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