Matemáticas II · Aragón 2023

Sea la siguiente función $$f(x) = \begin{cases} ax - \frac{\sen x}{x} + 2, & x \neq 0 \\ 2, & x = 0 \end{cases}, \quad a \in \mathbb{R}.$$

Calcula el siguiente límite $$\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{(x + 1)^2}{x^2 + 3x + 1} \right]^{\ln x}.$$

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 4x$ y la recta de pendiente $\frac{1}{2}$ que corta a $f(x)$ en $x = \frac{7}{2}$.

Dada la siguiente función $$f(x) = \frac{2x - 1}{\sqrt{x^2 - x - 2}},$$

Sean las siguientes matrices: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, D = A \cdot B^T - 2I,$$ donde $B^T$ es la matriz traspuesta de $B$ e $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Dado el siguiente sistema: $$\begin{cases} -x + mz = 0 \\ my + 2z = 2 + m^2 \\ x + y = 2m \end{cases}$$

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.$$

El plano $\pi \equiv 2x + by - 2z + 4 = 0$, $b \in \mathbb{R}$ y $b \neq 0$, corta a los ejes de coordenadas en tres puntos $A$, $B$ y $C$. Calcula los valores de $b \in \mathbb{R}$ tal que el área del triángulo que determinan estos tres puntos $A$, $B$ y $C$ sea $6\,\text{u}^2$.

Si los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son linealmente independientes,

El contenido total en sulfitos (medido en mg/l) del vino que se produce en una bodega, sigue una distribución normal de media $150\,\text{mg/l}$ y desviación típica $30\,\text{mg/l}$. La bodega se compromete a vender solamente vinos con un contenido total en sulfitos inferior a $200\,\text{mg/l}$, por lo que se desechan para la venta aquellos que superen esta cantidad. Se pide,