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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2021

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas de entre las ocho propuestas. Disponéis de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total de puntos obtenidos entre 4. Solo se tendrán en cuenta las respuestas claramente justificadas y razonadas usando lenguaje matemático o no matemático, según corresponda. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Se permite utilizar calculadora científica básica. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de dispositivos con acceso a Internet o aparatos que puedan transmitir o almacenar información.

Ejercicio 1

1
10 puntos
El barco de Denia a Ibiza lleva automóviles y camiones en la bodega. Cada camión ocupa cuatro plazas de automóvil. La superficie total de la bodega permite situar hasta 200 automóviles. Cada automóvil pesa 1000 kg1000\,\text{kg}, y cada camión, 9000 kg9000\,\text{kg}. El peso total permitido para la carga es de 300 000 kg300\,000\,\text{kg}. La compañía cobra 50 euros por cada automóvil y 300 euros por cada camión.
a
Plantead la maximización del beneficio de la compañía como un problema de programación lineal.4 pts
b
Dibujad la región factible para la solución, indicando las rectas y vértices que la delimitan.4 pts
c
Calculad el número de coches y camiones que se deben cargar para obtener un beneficio máximo. Determinad también este beneficio máximo.2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dadas las matrices de la forma A=(a100b100c)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}
a
Calculad A2A^2.2 pts
b
Hallad a,b,ca, b, c tales que A2=(101010001)A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.8 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
En una frutería hemos comprado manzanas a 0,50{,}5 euros cada una, aguacates a 1 euro y piñas a 1,51{,}5 euros la pieza. Al llegar a la caja nos damos cuenta de que llevamos 70 piezas de fruta, el coste total de las cuales es de 68 euros. También observamos que si las manzanas que llevamos fuesen aguacates y los aguacates fuesen manzanas, la compra nos saldría 4 euros más barata.
a
Identificad las variables e interpretad el enunciado como un conjunto de ecuaciones lineales.5 pts
b
Determinad el número de piezas de cada fruta que hemos comprado.5 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Consideramos la función definida a trozos siguiente:f(x)={−4x+asi x≤−2x2−5si −2<x<1−7x+3si x≥1f(x) = \begin{cases} -4x + a & \text{si } x \leq -2 \\ x^2 - 5 & \text{si } -2 < x < 1 \\ -7x + 3 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}
a
Calculad los valores de aa para que f(x)f(x) sea continua.3 pts
b
¿Es f(x)f(x) derivable para a=1a = 1?3 pts
c
Para a=0a = 0, determinad los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).4 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
El número de individuos, en millones, de una población viene determinado por la funciónP(t)=2+t+t2t2+2t+1,P(t) = \frac{2 + t + t^2}{t^2 + 2t + 1},donde t≥0t \geq 0 mide el número de años transcurridos.
a
¿Cuál es la población inicial (t=0t=0) y la población después de 5 años?2 pts
b
¿A partir de qué momento la población será inferior a un millón de individuos?4 pts
c
Con el paso de los años, ¿hacia qué valor tenderá el número de individuos de la población?4 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Considerad la función f(x)=3x+8f(x) = \frac{3}{x} + 8.
a
Hallad los puntos de la gráfica en los cuales la recta tangente es paralela a la recta 3x+4y+5=03x + 4y + 5 = 0.4 pts
b
Calculad las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos hallados en el apartado anterior.2 pts
c
Calculad el área comprendida entre la gráfica de la función f(x)f(x) y las rectas x=2,x=4x = 2, x = 4 e y=0y = 0.4 pts
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Ejercicio 7

7
10 puntos
En una muestra aleatoria de 256 individuos se ha obtenido una edad media de 17,417{,}4 años. Se sabe que la desviación típica de la población normal de la cual procede esta muestra es de 2 años.
a
Calculad un intervalo de confianza del 95% para estimar la edad media de la población.5 pts
b
Calculad el tamaño mínimo de la muestra que se debe tomar para que al estimar la edad media de esta población con un nivel de confianza del 92%, el error cometido sea inferior a 0,50{,}5 años.5 pts
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Ejercicio 8

8
10 puntos
En una determinada población residen 5000 personas en el centro y 10000 en la periferia. Se sabe que el 95% de los residentes en el centro y que el 20% de los que viven en la periferia opina que el ayuntamiento debería restringir el acceso de vehículos privados al centro urbano. Se elige al azar un residente de la población.
a
¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de restringir el acceso de vehículos privados al centro de la ciudad?3 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que resida en el centro y esté a favor de la restricción de acceso?3 pts
c
Si la persona elegida opina que se debería restringir el acceso, ¿cuál es la probabilidad de que resida en el centro de la ciudad?4 pts
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