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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2023

8 ejercicios

Instrucciones

OBSERVACIONES IMPORTANTES: Se debe responder a un máximo de 4 cuestiones y no es necesario hacerlo en el mismo orden en que están enunciadas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2,5 puntos. Si se responde a más de 4 cuestiones, sólo se corregirán las cuatro primeras, en el orden que haya respondido el estudiante. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se quiere calcular un número de tres cifras con los siguientes datos: i) La suma de sus tres cifras es 9. ii) Si permutamos la cifra de las centenas con la cifra de las unidades, el número obtenido es el número inicial menos 99. iii) Si permutamos la cifra de las decenas con la cifra de las unidades, el número obtenido es el número inicial más 36.
a
Denotando por xx la cifra de las centenas, por yy la de las decenas y por zz la de las unidades, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente la información dada en i), ii) y iii).1,5 pts
b
Calcule el número en cuestión.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se dice que una matriz cuadrada AA es 2-nilpotente si cumple que A2=0A^2 = 0.
a
Justifique razonadamente que una matriz 2-nilpotente nunca puede ser regular (o invertible).0,75 pts
b
Compruebe que la matriz A=(3−91−3)A = \begin{pmatrix} 3 & -9 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} es 2-nilpotente.0,75 pts
c
Determine para qué valores de aa y bb la matriz A=(6a4b)A = \begin{pmatrix} 6 & a \\ 4 & b \end{pmatrix} es 2-nilpotente.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la función f(x)=xe−xf(x) = xe^{-x}, definida para todo valor de x∈Rx \in \mathbb{R}.
a
Calcule lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x) y lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x).1 pt
b
Calcule la derivada de f(x)f(x) y determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función f(x)f(x).0,5 pts
c
Calcule la integral indefinida de la función f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere la función f(x)=sen⁡xcos⁡2x1+cos⁡2xf(x) = \frac{\sen x \cos^2 x}{1 + \cos^2 x}, definida para todo valor de x∈Rx \in \mathbb{R}, donde cos⁡2x=(cos⁡x)2\cos^2 x = (\cos x)^2.
a
Calcule la siguiente integral indefinida ∫sen⁡xcos⁡2x1+cos⁡2xdx\int \frac{\sen x \cos^2 x}{1 + \cos^2 x} dx utilizando el método de cambio de variable o de sustitución.1,5 pts
b
Calcule la integral definida ∫0π/2sen⁡xcos⁡2x1+cos⁡2xdx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sen x \cos^2 x}{1 + \cos^2 x} dx.0,5 pts
c
Determine la primitiva de f(x)=sen⁡xcos⁡2x1+cos⁡2xf(x) = \frac{\sen x \cos^2 x}{1 + \cos^2 x} que pasa por el punto (π,1)(\pi, 1).0,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Los puntos A=(6,−4,4)A = (6, -4, 4) y B=(12,−1,1)B = (12, -1, 1) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice CC es la proyección ortogonal del vértice AA sobre la rectar:{x−2y=5x+2z=5r: \begin{cases} x - 2y = 5 \\ x + 2z = 5 \end{cases}
a
Calcule las coordenadas del vértice CC.1,5 pts
b
Determine si el triángulo ABC^\widehat{ABC} tiene un ángulo recto en el vértice AA.0,5 pts
c
Calcule el área del triángulo ABC^\widehat{ABC}.0,5 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere el plano π\pi de ecuación π:2x+ay−2z=−4\pi : 2x + ay - 2z = -4 y la recta rr dada porr:x+12=y+11=z−5−2r: \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 5}{-2}
a
Estudie la posición relativa del plano π\pi y de la recta rr en función del parámetro aa.1,25 pts
b
Se sabe que cuando a=1a = 1 la recta rr corta al plano π\pi. Para ese valor de aa, calcule el punto de corte de la recta rr y el plano π\pi.0,75 pts
c
Calcule el ángulo que forman.0,5 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
En un cine hay 3 salas y un total de 250 espectadores repartidos de la siguiente manera: 100 espectadores en la sala A, 50 en la sala B y 100 en la sala C. Se sabe que la película de la sala A gusta al 80% de los espectadores, la de la sala B al 20% de los espectadores y la de la sala C al 60% de los espectadores. A la salida de las tres películas se elige un espectador al azar.
a
La probabilidad de que el espectador haya estado en la sala C.0,25 pts
b
La probabilidad de que le haya gustado la película, sabiendo que ha estado en la sala C.0,5 pts
c
La probabilidad de que le haya gustado la película y haya estado en la sala C.0,5 pts
d
La probabilidad de que le haya gustado la película.0,75 pts
e
La probabilidad de que le haya gustado la película o haya estado en la sala C.0,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
El peso de los recién nacidos en la Región de Murcia sigue una distribución normal de media μ\mu y desviación típica σ\sigma desconocidas. Se sabe que el 67% de los recién nacidos pesan menos de 3,464 kg3{,}464\,\text{kg} y que el 1,5% de los recién nacidos pesan más de 4,502 kg4{,}502\,\text{kg}.
Datos
  • En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades y 2 decimales para los porcentajes
a
¿Cuál es el porcentaje de recién nacidos cuyo peso está comprendido entre 3,4643{,}464 y 4,502 kg4{,}502\,\text{kg}?0,5 pts
b
Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.1 pt
c
Calcule el porcentaje de recién nacidos que pesan menos de 2,33 kg2{,}33\,\text{kg}.1 pt
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