Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2022

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x + 2y + 3z = a + 1 \\ ax + z = 0 \\ x + y + 2z = 1 \end{cases}$$

Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 1$, si es posible.

Encuentra razonadamente el valor de $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función $$f(x) = \frac{ax + 1}{2x + b}$$ tenga una discontinuidad de salto infinito en $x = 1$ y tienda a $2$ cuando $x \rightarrow +\infty$.

Resuelve la siguiente integral: $$\int x \cdot \cos(2x) dx$$

Estudia la continuidad en $\mathbb{R}$ de la función $$f(x) = (2e^{x^2 - 4} - 8x + 14) / (x^2 - 2x)$$

Sea el determinante $$\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2$$ donde $x, y, z, a, b, c \in \mathbb{R}$. Calcula razonadamente (e indicando las propiedades de los determinantes que utilizas) el determinante de $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a - 2 & b - 4 & c - 6 \\ 2x & 2y & 2z \end{vmatrix}$$

Calcula la recta perpendicular a $\pi$ y que pasa por $A$. ¿En qué punto se cortan la recta y el plano?

Obtén un punto de la recta anterior distinto de $A$ que diste de $\pi$ igual que $A$. Calcula el punto simétrico de $A$ con respecto a $\pi$.

Sea el plano $\pi \equiv x - 3y + z = 0$ y los puntos $A = (0, 0, -1)$ y $B = (1, 1, 1)$. Obtén el plano perpendicular a $\pi$ y que contiene a $A$ y $B$.

Calcula el área de la región delimitada por las funciones $f(x) = x^2 - 4x + 5$ y $g(x) = 3 - x$.

Sea el tetraedro cuyos vértices son los puntos $A = (a, 0, 1)$, $B = (1, 3, 0)$, $C = (0, 1, 0)$ y $D = (1, 1, 1)$, con $a \in \mathbb{R}$. Halla los valores de $a$ para que el volumen de dicho tetraedro sea $1$.

Enuncia el teorema de Bolzano. Utiliza este teorema para razonar que la función $$f(x) = (2e^x - 8x - 3) / (x^2 + 2)$$ corta al eje de abscisas al menos una vez.

Despeja la matriz $X$ de la ecuación matricial $A \cdot X + B = X$, siendo $X, A$ y $B$ matrices cuadradas cualesquiera. Calcula $X$ para las matrices $$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}; B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Un piloto de Fórmula 1 tiene una probabilidad de ganar una carrera cualquiera de $0{,}2$. Si participa en las próximas $4$ carreras, ¿cuál es la probabilidad de que gane al menos dos?

En un determinado centro, la probabilidad de que un alumno apruebe si va a clase es del $80\%$, mientras que si no va a clase es del $50\%$. El $90\%$ de los alumnos va a clase.

Una empresa embotelladora de agua produce botellas de $1{,}5$ L. La cantidad que realmente contienen sigue una distribución normal con media $150$ ml y desviación típica $5$ ml.