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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla binomial, tabla N(0,1) como anexo. El estudiante deberá resolver CuAtro de los ocho ejercicios propuestos. Si resuelve más, se corregirán solo los cuatro primeros. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntuará 2,5 puntos. Duración de la prueba: 1 hora y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}:{x+2y+3z=a+1ax+z=0x+y+2z=1 \begin{cases} x + 2y + 3z = a + 1 \\ ax + z = 0 \\ x + y + 2z = 1 \end{cases} 1,75 pts
b
Resuelve razonadamente el sistema anterior para a=1a = 1, si es posible.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Encuentra razonadamente el valor de a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} para que la funciónf(x)=ax+12x+bf(x) = \frac{ax + 1}{2x + b}tenga una discontinuidad de salto infinito en x=1x = 1 y tienda a 22 cuando x→+∞x \rightarrow +\infty.1,5 pts
b
Resuelve la siguiente integral:∫x⋅cos⁡(2x)dx\int x \cdot \cos(2x) dx1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Estudia la continuidad en R\mathbb{R} de la funciónf(x)=(2ex2−4−8x+14)/(x2−2x)f(x) = (2e^{x^2 - 4} - 8x + 14) / (x^2 - 2x)1,5 pts
b
Sea el determinante∣xyzabc123∣=2\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2donde x,y,z,a,b,c∈Rx, y, z, a, b, c \in \mathbb{R}. Calcula razonadamente (e indicando las propiedades de los determinantes que utilizas) el determinante de∣123a−2b−4c−62x2y2z∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a - 2 & b - 4 & c - 6 \\ 2x & 2y & 2z \end{vmatrix}1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea el punto A=(1,0,1)A = (1, 0, 1) y el plano π≡x+y+z=8\pi \equiv x + y + z = 8.
a
Calcula la recta perpendicular a π\pi y que pasa por AA. ¿En qué punto se cortan la recta y el plano?1,25 pts
b
Obtén un punto de la recta anterior distinto de AA que diste de π\pi igual que AA. Calcula el punto simétrico de AA con respecto a π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
Sea el plano π≡x−3y+z=0\pi \equiv x - 3y + z = 0 y los puntos A=(0,0,−1)A = (0, 0, -1) y B=(1,1,1)B = (1, 1, 1). Obtén el plano perpendicular a π\pi y que contiene a AA y BB.1 pt
b
Calcula el área de la región delimitada por las funciones f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 y g(x)=3−xg(x) = 3 - x.1,5 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
a
Sea el tetraedro cuyos vértices son los puntos A=(a,0,1)A = (a, 0, 1), B=(1,3,0)B = (1, 3, 0), C=(0,1,0)C = (0, 1, 0) y D=(1,1,1)D = (1, 1, 1), con a∈Ra \in \mathbb{R}. Halla los valores de aa para que el volumen de dicho tetraedro sea 11.1,5 pts
b
Enuncia el teorema de Bolzano. Utiliza este teorema para razonar que la funciónf(x)=(2ex−8x−3)/(x2+2)f(x) = (2e^x - 8x - 3) / (x^2 + 2)corta al eje de abscisas al menos una vez.1 pt
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos

Responda a a o b (solo uno).

a
Despeja la matriz XX de la ecuación matricial A⋅X+B=XA \cdot X + B = X, siendo X,AX, A y BB matrices cuadradas cualesquiera. Calcula XX para las matricesA=(3−102);B=(2012)A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}; B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}2,5 pts
b
Un piloto de Fórmula 1 tiene una probabilidad de ganar una carrera cualquiera de 0,20{,}2. Si participa en las próximas 44 carreras, ¿cuál es la probabilidad de que gane al menos dos?2,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos

Responda a a o b (solo uno).

a
En un determinado centro, la probabilidad de que un alumno apruebe si va a clase es del 80%80\%, mientras que si no va a clase es del 50%50\%. El 90%90\% de los alumnos va a clase.2,5 pts
a.1
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe?0,5 pts
a.2
Si un alumno ha suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido a clase?0,75 pts
b
Una empresa embotelladora de agua produce botellas de 1,51{,}5 L. La cantidad que realmente contienen sigue una distribución normal con media 150150 ml y desviación típica 55 ml.2,5 pts
b.1
¿Qué proporción de las botellas contiene más de 152152 ml?0,5 pts
b.2
¿Qué proporción de botellas tiene entre 149149 y 152152 ml?0,75 pts
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