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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumnado contestará solo CUATRO problemas entre los OCHO propuestos. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 4 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales(2a+111a211a+2)(xyz)=(−112)\begin{pmatrix} 2 & a + 1 & 1 \\ 1 & a & 2 \\ 1 & 1 & a + 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}donde aa es un parámetro real:
a
Discutir el sistema en función del parámetro aa.6 pts
b
Obtener las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dadas las matrices A=(0−1−2−10−2113)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} e I=(100010001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, obtener:
a
La matriz M=(A−αI)2M = (A - \alpha I)^2, donde α\alpha es un parámetro real.6 pts
b
El valor de α\alpha, si existe, para el cual la matriz MM es la matriz nula.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dados los puntos A=(2,−1,0)A = (2, -1, 0), B=(1,2,3)B = (1, 2, 3) y C=(−1,0,0)C = (-1, 0, 0):
a
Hallar la ecuación implícita de la recta rr que contiene a los puntos AA y BB.3 pts
b
Hallar la ecuación del plano π\pi que es perpendicular a la recta anterior rr y que contiene al punto CC.4 pts
c
Calcular la distancia del punto AA al plano π\pi.3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Dada la recta r:(x,y,z)=(1,1,0)+λ(−1,−1,2)r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + \lambda(-1, -1, 2) y el plano π:5x+my+z=2\pi: 5x + my + z = 2:
a
Obtener la posición relativa de rr y π\pi en función de mm.6 pts
b
Para m=1m = 1, calcular el plano π′\pi' que contiene a rr y es perpendicular a π\pi.4 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Consideramos la función f(x)=−2x2+x+12x2+5x+2f(x) = \frac{-2x^2 + x + 1}{2x^2 + 5x + 2}.
a
Comprobar que x=−12x = -\frac{1}{2} es una discontinuidad evitable.2 pts
b
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento.4 pts
c
Obtener ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.4 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Una ventana rectangular está coronada por un semicírculo tal y como se indica en la siguiente figura. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 2020 metros:
Esquema de una ventana compuesta por un rectángulo y un semicírculo superior.
a
Calcular el área de la ventana en función de su anchura xx.3 pts
b
Calcular las dimensiones que ha de tener la ventana para que permita la máxima entrada de luz.5 pts
c
Calcular el valor de dicha área máxima.2 pts
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Ejercicio 7

7
10 puntos
Una urna tiene tres bolas verdes, cuatro rojas y cinco amarillas. Todas de igual tamaño.
Datos
  • Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación
a
Se extrae una bola de la urna, se mira su color y se devuelve a la urna. Se repite de nuevo, una vez más, esta operación. ¿Cuál es la probabilidad de que los colores de las dos bolas extraídas sean el mismo? ¿Y la probabilidad de que sean distintos?5 pts
b
Se extraen al mismo tiempo tres bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean de distinto color?5 pts
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Ejercicio 8

8
10 puntos
Una empresa tiene dos plantas de producción de teléfonos móviles. La primera planta produce móviles defectuosos con probabilidad 0,020{,}02 y la segunda planta con probabilidad 0,060{,}06. Al comprar un móvil de esa empresa, la probabilidad de que sea de la primera planta es de 0,70{,}7. Compramos un móvil. Se pide determinar:
Datos
  • Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación
a
La probabilidad de que proceda de la segunda planta de producción y sea defectuoso.4 pts
b
Sabiendo que el móvil comprado es defectuoso, la probabilidad de que lo haya fabricado la primera planta de producción.6 pts
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