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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2021

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que puede responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como quiera.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Números y álgebra
Despeje XX en la ecuación matricial A(X−B)=IA(X - B) = I, donde II es la matriz identidad y AA y BB son matrices cuadradas, con AA invertible. Luego, calcule XX siA=(000111−22−2)yB=(10001/20001/3)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Números y álgebra
Discuta, según los valores del parámetro mm, el siguiente sistema:{mx+y+z=2mmx+(m+1)y+z=1mx+(m+1)y+2z=m+1\begin{cases} mx + y + z = 2m \\ mx + (m + 1)y + z = 1 \\ mx + (m + 1)y + 2z = m + 1 \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Análisis
a
Enuncie el teorema de Bolzano.
b
Obtenga los valores de aa, bb y cc que hacen que f(x)=ax3+bx2−3x+cf(x) = ax^3 + bx^2 - 3x + c cumpla f(0)=1f(0) = 1 y tenga extremos relativos en x=±1x = \pm 1. Decir luego si los extremos son máximos o mínimos.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Análisis
a
Enuncie el teorema de Rolle.
b
Calcule el área de la región encerrada por las gráficas de f(x)=x+6f(x) = x + 6 y g(x)={−2xsi x<0x2si x≥0g(x) = \begin{cases} -2x & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Geometría
a
Obtenga la ecuación implícita del plano π\pi con ecuaciones paramétricas π:{x=1−λy=2+μz=1+λ+2μ\pi: \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 2 + \mu \\ z = 1 + \lambda + 2\mu \end{cases} con λ,μ∈R\lambda, \mu \in \mathbb{R}.
b
Calcule el valor de aa para que los siguientes puntos sean coplanarios: A(0,a,0)A(0, a, 0), B(0,2,2)B(0, 2, 2), C(1,4,3)C(1, 4, 3) y D(2,0,2)D(2, 0, 2). Obtenga la ecuación implícita del plano π′\pi' que los contiene.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Geometría
Calcule el punto simétrico de P(1,1,2)P(1, 1, 2) con respecto al plano π:2x−y+z+3=0\pi: 2x - y + z + 3 = 0.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Estadística y probabilidad
En una determinada ciudad, el 8%8\% de la población practica yoga, el 20%20\% tiene mascota y el 3%3\% practica yoga y tiene mascota. Si en esa ciudad se elige una persona al azar, calcule:
a
La probabilidad de que no practique yoga y a la vez tenga mascota.
b
La probabilidad de que tenga mascota sabiendo que practica yoga.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Estadística y probabilidad
El grosor de las planchas de acero que se producen en una cierta fábrica sigue una distribución normal de media 8 mm8\,\text{mm} y desviación típica 0,5 mm0{,}5\,\text{mm}. Calcule la probabilidad de que una plancha elegida al azar tenga un grosor comprendido entre 7,6 mm7{,}6\,\text{mm} y 8,2 mm8{,}2\,\text{mm}.
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