Matemáticas II · Aragón 2012

Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de $a$ el sistema anterior es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado.

Resuelva el sistema anterior en el caso $a = 0$.

Compruebe que la matriz $M$ es inversible y calcule su inversa, donde $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

Encuentre las matrices $A$ y $B$ que cumplen las siguientes ecuaciones $$8A - 5B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}, \qquad 2A - B = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Calcule la siguiente integral indefinida $$\int \cos(\ln(x)) dx$$ (Ayuda: realice un cambio de variable adecuado para esta integral).

Calcule el límite siguiente $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\frac{x^2}{x + 3}\right) \ln\left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)$$

Descomponer el número 12 en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máximo.

Hallar el valor de $k$ para que $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - e^{-x} + kx}{x - \sen(x)} = 2$$

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función real de variable real, continua y derivable en la recta real. Supongamos que $f(0) \neq 0$ y $f(x + y) = f(x)f(y)$ para todo número real $x, y$. Demostrar que $f(0) = 1$; $f(x) \neq 0$; $f(x) > 0$ y $f'(x) = f'(0)f(x)$ para todo número real $x$.

Determine el dominio de continuidad, simetrías, corte con los ejes, y asíntotas de la función $f$.

Calcule, si existen, los extremos relativos y absolutos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.

Calcule, si existen, los puntos de inflexión de $f$.

Dibuje la gráfica de $f$.

Hallar el plano que contiene a la recta $v$ de ecuación paramétrica $$v: (2, 1, 3) + t(2, 1, 0)$$ y es perpendicular al plano de ecuación $x + z = 2$.

Probar que los vectores $\{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)\}$ forman una base de $\mathbb{R}^3$ y dar las coordenadas del vector $(1, 2, 0)$ en la base anterior.

Hallar los planos del haz que pasan por el punto $P = (1, 1, 1)$.

Hallar los planos del haz cuya distancia al punto $Q = (3, -2, 1)$ es $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Hallar los planos del haz que cumplen, que el ángulo que forman con el eje $OY$ tiene por seno el valor $\frac{\sqrt{6}}{6}$.