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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima. 1) Se corregirán todas las preguntas, puntuando según los criterios siguientes y siempre favoreciendo al alumnado. 2) Opción A, ejercicio 3. Si no se ha resuelto, el apartado A3(c), se duplicara la puntuación conseguida del apartado A3(a). Si se ha resuelto el apartado A3(c) y no el A3(a), se duplicara la puntuación del A3(c). Si se han resuelto dos de los tres aparatados de A3, se conseguirá la puntuación máxima de A3. 3) Opción A y Opción B. La nota del alumno sobre 10 se obtiene con la suma de las tres mejores notas de las preguntas A1, A2, A3, A4 o B1, B2, B3, B4 y dividiendo por 7,5. Normas generales Se sugiere una corrección acumulativa de puntos, sumando puntos por las aciertos que el alumno vaya obteniendo. Se valorará la exposición lógica, ordenada y coherente de las respuestas, así como su comprobación si esta es posible. Si al operar el alumno comete un error numérico, y el desarrollo posterior es coherente con dicho error, no se prestara especial atención, siempre y cuando el problema no haya quedado reducido a uno trivial.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean aa un número real y el sistema lineal{ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}
a
Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de aa el sistema anterior es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado.1,5 pts
b
Resuelva el sistema anterior en el caso a=0a = 0.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcule la siguiente integral indefinida∫x2+11xx3−2x2−2x+12dx\int \frac{x^2 + 11x}{x^3 - 2x^2 - 2x + 12} dx
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Descomponer el número 12 en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máximo.0,75 pts
b
Hallar el valor de kk para quelim⁡x→0ex−e−x+kxx−sen⁡(x)=2\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - e^{-x} + kx}{x - \sen(x)} = 21 pt
c
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} una función real de variable real, continua y derivable en la recta real. Supongamos que f(0)≠0f(0) \neq 0 y f(x+y)=f(x)f(y)f(x + y) = f(x)f(y) para todo número real x,yx, y. Demostrar que f(0)=1f(0) = 1; f(x)≠0f(x) \neq 0; f(x)>0f(x) > 0 y f′(x)=f′(0)f(x)f'(x) = f'(0)f(x) para todo número real xx.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Hallar el plano que contiene a la recta vv de ecuación paramétricav:(2,1,3)+t(2,1,0)v: (2, 1, 3) + t(2, 1, 0)y es perpendicular al plano de ecuación x+z=2x + z = 2.1 pt
b
Probar que los vectores {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}\{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)\} forman una base de R3\mathbb{R}^3 y dar las coordenadas del vector (1,2,0)(1, 2, 0) en la base anterior.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Compruebe que la matriz MM es inversible y calcule su inversa, dondeM=(101211−122)M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}1,5 pts
b
Encuentre las matrices AA y BB que cumplen las siguientes ecuaciones8A−5B=(320−21303−3),2A−B=(1−402−1301−1)8A - 5B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}, \qquad 2A - B = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcule la siguiente integral indefinida∫cos⁡(ln⁡(x))dx\int \cos(\ln(x)) dx(Ayuda: realice un cambio de variable adecuado para esta integral).1,5 pts
b
Calcule el límite siguientelim⁡x→+∞(x2x+3)ln⁡(x+5x−1)\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\frac{x^2}{x + 3}\right) \ln\left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea ff la función de variable real definida mediante la expresiónf(x)=2xx2+1f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}
a
Determine el dominio de continuidad, simetrías, corte con los ejes, y asíntotas de la función ff.0,5 pts
b
Calcule, si existen, los extremos relativos y absolutos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff.1 pt
c
Calcule, si existen, los puntos de inflexión de ff.0,5 pts
d
Dibuje la gráfica de ff.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea el haz de planos de ecuación(1+λ)x−y−λz=0(1 + \lambda)x - y - \lambda z = 0con parámetro real λ\lambda.
a
Hallar los planos del haz que pasan por el punto P=(1,1,1)P = (1, 1, 1).0,5 pts
b
Hallar los planos del haz cuya distancia al punto Q=(3,−2,1)Q = (3, -2, 1) es 322\frac{3\sqrt{2}}{2}.1 pt
c
Hallar los planos del haz que cumplen, que el ángulo que forman con el eje OYOY tiene por seno el valor 66\frac{\sqrt{6}}{6}.1 pt
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