Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2026OrdinariaVariante Serie 5

Matemáticas CCSS · Cataluña 2026

4 ejercicios

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a los cuatro ejercicios. En los ejercicios 1, 2 y 3, responde a todas las cuestiones; en el 4, elige una de las dos opciones (A o B).
Puntuación
Cada ejercicio vale 2,5 puntos.
Material
Puede utilizar calculadora, pero no calculadoras u otros aparatos que puedan almacenar datos o transmitir o recibir información.
Además
Explica siempre qué quieres hacer y por qué. Redacta las respuestas con coherencia, corrección y claridad, utilizando la notación y el vocabulario matemático adecuados y expresando la solución de forma clara.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Después de una serie de lluvias torrenciales se ha realizado un estudio de la capacidad de agua almacenada en tres embalses: el de Darnius Boadella, el de Sau y el de la Baells. Se sabe que el agua almacenada en los tres embalses es de 112 hm3112\,\text{hm}^3 y que el de la Baells contiene la misma cantidad que el de Sau y el de Darnius Boadella juntos.
1.1
Con esta información, ¿se puede saber cuánta agua contiene cada embalse? Razone la respuesta. ¿Cuántos hectómetros cúbicos de agua contiene el embalse de la Baells?1,25 pts
1.2
Si además se sabe que el 10 %10\,\% del agua que contiene el embalse de Darnius Boadella más el 20 %20\,\% del agua que contiene el embalse de Sau más el 30 %30\,\% del agua que hay en el de la Baells suman 27,2 hm327{,}2\,\text{hm}^3, ¿qué cantidad de agua contiene cada embalse?1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
En el campus de una universidad, el 45 %45\,\% del alumnado llega en tren, el 35 %35\,\% en autobús y el resto utilizando medios propios. Entre los usuarios del tren, el 70 %70\,\% utiliza la T-joven, mientras que el 30 %30\,\% restante usa otros tipos de billetes. Entre los usuarios del autobús, el 60 %60\,\% utiliza la T-joven y el 40 %40\,\% usa otros tipos de billetes. Entre los que llegan al campus por medios propios, ninguno utiliza la T-joven. Fórmulas para resolver el ejercicio: • Z∼normal⁡(0,1)→Z \sim \operatorname{normal}(0, 1) \rightarrow P(−1,96≤Z≤1,96)=0,95P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) = 0{,}95 y P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58 \leq Z \leq 2{,}58) = 0{,}99 • Intervalos de confianza con un nivel de confianza γ∈(0,1)\gamma \in (0,1) — para la proporción (muestras grandes):[p^−zγp^(1−p^)n,p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat{p}-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\hat{p}+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]— para la media (muestras normales con la varianza σ2\sigma^2 conocida):[xˉ−zγσn,xˉ+zγσn]\left[\bar{x}-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]— para la media (muestras grandes con la varianza σ2\sigma^2 desconocida):[xˉ−zγsn,xˉ+zγsn]\left[\bar{x}-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]
2.1
Si se escoge un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que utilice la T-joven para llegar al campus? Si se sabe que un alumno usa la T-joven para llegar al campus, ¿cuál es la probabilidad de que lo haga en tren?1,25 pts
2.2
Se quiere realizar un estudio para saber cuánto tiempo tarda el alumnado en llegar al campus de la universidad desde que sale por la puerta de su casa. Por eso se pidió a una muestra de 300300 estudiantes que calcularan este dato un día determinado. Se obtuvo que estos 300300 estudiantes de media habían tardado 5353 minutos en llegar al campus, y que la desviación típica era de 88 minutos. Encuentre un intervalo de confianza del 95 %95\,\% para el tiempo que tardan los alumnos en llegar al campus.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
En una localidad costera han abierto un nuevo local de ocio nocturno con varias pistas de baile y zonas de descanso. Para acceder al recinto hay que comprar una entrada que incluye una consumición. Después de unas cuantas semanas, los propietarios se han dado cuenta de que si el precio de la entrada es de 15 €15\,\text{€}, acuden 180180 clientes. También se han dado cuenta de que la relación entre el precio de la entrada y el número de clientes es lineal, de forma que por cada euro de más en el precio de la entrada pierden 2020 clientes. El aforo del local es de 320320 personas.
3.1
Compruebe que el número de personas que acuden al local en función del precio viene dado por la función f(x)=480−20xf(x) = 480 - 20x. ¿A partir de qué precio se tiene que vender la entrada para conseguir llenar el local? ¿A qué precio no acudirá nadie?0,75 pts
3.2
Encuentre una función que determine los ingresos obtenidos con las entradas en función del precio de la entrada. ¿Cuáles son los ingresos cuando el precio de la entrada es de 15 €15\,\text{€}? ¿Y cuando es de 18 €18\,\text{€}?0,75 pts
3.3
¿A qué precio se tiene que poner la entrada para obtener el máximo de ingresos? ¿Cuáles son estos ingresos?1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean. Indique en la portada del examen la opción elegida.

Bernat ha sido contratado como gerente de una empresa que fabrica paraguas después de que el anterior gerente fuera despedido por no guardar convenientemente la documentación. Esta empresa fabrica dos modelos de paraguas: paraguas plegables y paraguas bastón.
4.1
Haciendo un análisis económico del último ejercicio, Bernat ha descubierto que la empresa tuvo unos ingresos totales de 42.500 €42.500\,\text{€} por la venta de paraguas. Aun así, no hay ningún documento que indique cuántos paraguas de cada tipo se vendieron; solo que el precio de venta de cada paraguas plegable era de 25 €25\,\text{€} y el del paraguas bastón era de 15 €15\,\text{€}. Revolviendo entre la documentación, también ha encontrado que se usó un total de 2.375 m22.375\,\text{m}^2 de tela impermeable. Para fabricar un paraguas plegable, se necesita 1 m21\,\text{m}^2 de esta tela, mientras que para un paraguas bastón se necesitan 1,5 m21{,}5\,\text{m}^2. Sabiendo que no quedó ningún paraguas en el almacén al finalizar la temporada, ¿cuántos paraguas de cada modelo se vendieron?1,25 pts
4.2
Teniendo en cuenta el coste de fabricar y almacenar los paraguas plegables, la función que determina el beneficio, en miles de euros, que resulta de fabricar este producto es p(x)=x(3−x)p(x) = x(3 - x), donde xx representa el número de paraguas fabricados, en cientos de unidades. Considerando los mismos factores, la función de beneficio de los paraguas bastón es b(x)=−25x2+2xb(x) = -\frac{2}{5}x^2 + 2x. ¿Qué beneficios se obtendrán en total si se fabrican 100100 paraguas de cada tipo? Para cada modelo de paraguas, calcule entre qué valores tiene que estar comprendida la variable xx para que la empresa no tenga pérdidas.1,25 pts
Ver este ejercicio

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean. Indique en la portada del examen la opción elegida.

Bernat ha sido contratado como gerente de una empresa que fabrica paraguas después de que el anterior gerente fuera despedido por no guardar convenientemente la documentación. Esta empresa fabrica dos modelos de paraguas: paraguas plegables y paraguas bastón.
4.1
Teniendo en cuenta el coste de fabricar y almacenar los paraguas plegables, la función que expresa el beneficio, en miles de euros, que resulta de fabricar este producto es p(x)=x(3−x)p(x) = x(3 - x), donde xx representa el número de paraguas fabricados, en cientos de unidades. Considerando los mismos factores, la función de beneficio de los paraguas bastón es b(x)=−25x2+2xb(x) = -\frac{2}{5}x^2 + 2x. La empresa fabricará el número de paraguas de cada tipo que maximice su función de beneficios. ¿Con cuál de los dos productos se necesita una menor cantidad de paraguas para lograr el máximo de beneficios? ¿Con cuál de los dos productos se obtienen mayores beneficios?1,25 pts
4.2
Un día llegan a la empresa dos lotes de paraguas bastón que había encargado el anterior gerente para analizar dos formas diferentes de tratar la tela impermeable: mediante la impregnación con un nuevo producto químico o mediante un recubrimiento de teflón. Entre los dos lotes, hay 6060 paraguas con la tela recubierta de teflón y 8080 paraguas impermeabilizados con el método de impregnación. Se sabe que un 98 %98\,\% de los paraguas con recubrimiento de teflón aguantan bien la lluvia, pero solo el 95 %95\,\% de los que han recibido el tratamiento de impregnación la aguantan bien. Al salir del trabajo, cae un aguacero repentino y Bernat coge uno de los nuevos paraguas, pero tiene la mala suerte de que es uno de los defectuosos y queda completamente empapado. ¿Cuál es la probabilidad de que el paraguas que ha cogido sea de los que están recubiertos de teflón?1,25 pts
Ver este ejercicio