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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. 1. Rellene la carátula con el número del documento de identidad, nombre y apellidos. 2. ES IMPORTANTE que marque correctamente todas las casillas correspondientes al documento de identidad, código de materia y opción. La marca debe quedar como esta: □ Fíjese bien que marca correctamente la fila y la columna correspondientes al número que debe marcar. Un error frecuente es marcar el 1 en la fila 0. Después de rellenar las casillas del documento de identidad y el código de examen, revise que las ha marcado correctamente. 3. Indique en la página 1 el nombre de la materia y marque el código, tal como se indica en la figura. 4. Independientemente de las preguntas que conteste, debe marcar obligatoriamente la opción A, tal como se indica en la imagen: Opción / Opción. 5. Comience a responder el examen por la página 2, siguiendo la numeración y no debe escribir fuera de los márgenes superior (por encima del código de barras) e inferior (después del pie de página). 6. Si termina la prueba antes de que expire el tiempo asignado, debe levantar el brazo para esperar instrucciones. 7. No debe quitar la grapa de la hoja de respuestas. Conteste de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas de entre las ocho propuestas. Dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total de puntos obtenidos entre 4. Solo se tendrán en cuenta las respuestas claramente justificadas y razonadas usando lenguaje matemático o no matemático, según corresponda. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Se permite utilizar calculadora científica básica. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de dispositivos con acceso a Internet o aparatos que puedan transmitir o almacenar información.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Considerad las matrices:A=(11−1λ2−12λ−1),B=(λ3λ6)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ \lambda & 2 & -1 \\ 2 & \lambda & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} \lambda & 3\lambda & 6 \end{pmatrix}
a
Calculad el determinante de la matriz AA.1 pt
b
En función del parámetro λ\lambda, calculad el rango de la matriz AA.3 pts
c
Para el valor de λ=1\lambda = 1, calculad la matriz inversa de AA, A−1A^{-1}.3 pts
d
Para el valor de λ=1\lambda = 1, resolved la ecuación matricial XA=BXA = B.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Durante un año, cierta empresa vende 2100021000 vehículos de tres modelos A, B y C, al precio de 1000010000, 1500015000 y 2000020000 euros, respectivamente. El total de las ventas es de 332332 millones de euros. Se ha observado que también se han vendido 2100021000 vehículos contando solo los del modelo B y λ\lambda veces los del modelo A.
a
Plantead un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema, en función del número de vehículos vendidos de cada modelo.3 pts
b
Calculad el número de vehículos vendidos de cada modelo, suponiendo λ=3\lambda = 3.3 pts
c
Determinad si existe algún valor del parámetro λ\lambda para el cual la anterior situación no se pueda dar.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dadas las funciones f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x y g(x)=4−4xg(x) = 4 - 4x.
a
Representadlas gráficamente en un mismo sistema de coordenadas.5 pts
b
Calculad los puntos de corte de ambas gráficas.2 pts
c
Calculad el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones.3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Sea la función f(x)=1−x23f(x) = 1 - \sqrt[3]{x^2}.
a
Calculad el dominio y los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes.2 pts
b
Calculad la derivada de la función y obtened los intervalos de crecimiento y decrecimiento.2 pts
c
Comprobad que f(−1)=f(1)f(-1) = f(1) y que f′(x)f'(x) no es nunca cero en el intervalo [−1,1][-1, 1]. ¿Contradice este hecho el teorema de Rolle?3 pts
d
Haced un esbozo de la gráfica de la función y=f(x)y = f(x).3 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Sea aa un parámetro real. Considerad el plano π≡3x−2y−z=4\pi \equiv 3x - 2y - z = 4, el punto P(1,1,0)P(1, 1, 0) y la rectar≡{x−y=0x−az=1r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \\ x - az = 1 \end{cases}En cada caso, si existe, obtened el valor del parámetro aa para el cual:
a
el punto PP pertenece a la recta rr.1 pt
b
la recta rr y el plano π\pi se cortan en un único punto.3 pts
c
la recta rr está contenida en el plano π\pi.3 pts
d
la recta rr es perpendicular al plano π\pi.3 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Dados los puntos A(1,1,1)A(1, 1, 1), B(0,0,−2)B(0, 0, -2), C(2,−1,0)C(2, -1, 0), D(−1,2,−1)D(-1, 2, -1) e E(0,0,0)E(0, 0, 0).
a
Comprobad que los puntos AA, BB y CC determinan un único plano, π\pi.2 pts
b
Averiguad si el triángulo de vértices AA, BB y CC es rectángulo en el vértice AA.3 pts
c
Hallad el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos AA y DD con el plano π\pi.3 pts
d
Calculad el volumen del tetraedro definido por los vectores AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC} y AD⃗\vec{AD}.2 pts
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Ejercicio 7

7
10 puntos
Una prueba diagnóstica de una enfermedad da resultado negativo el 5%5\% de las veces que se aplica a un individuo que la padece y da positivo el 10%10\% de las veces que se aplica a un individuo que no la padece. Las estadísticas muestran que dicha enfermedad afecta a 5050 de cada 1000010000 personas. Si una persona escogida al azar se somete a la prueba diagnóstica, calculad las probabilidades siguientes:
a
Que un individuo no padezca la enfermedad.1 pt
b
Que la prueba dé resultado positivo.3 pts
c
Que la persona no padezca la enfermedad, si el resultado de la prueba es negativo.3 pts
d
Que el resultado de la prueba sea erróneo.3 pts
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Ejercicio 8

8
10 puntos
Se tienen tres urnas A, B y C. La urna A contiene 44 bolas rojas y 22 bolas negras. La urna B contiene 33 bolas rojas y 33 bolas negras. La urna C contiene 66 bolas negras. Se escoge una urna al azar y se extraen dos bolas de manera consecutiva y sin reemplazo.
a
Calculad la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja.3 pts
b
Calculad la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja y la segunda sea negra.3 pts
c
Sabiendo que la primera bola extraída es roja, calculad la probabilidad de que la segunda sea negra.4 pts
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