Matemáticas II · Baleares 2022

Considerad las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ \lambda & 2 & -1 \\ 2 & \lambda & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} \lambda & 3\lambda & 6 \end{pmatrix}$$

Durante un año, cierta empresa vende $21000$ vehículos de tres modelos A, B y C, al precio de $10000$, $15000$ y $20000$ euros, respectivamente. El total de las ventas es de $332$ millones de euros. Se ha observado que también se han vendido $21000$ vehículos contando solo los del modelo B y $\lambda$ veces los del modelo A.

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 4x$ y $g(x) = 4 - 4x$.

Sea la función $f(x) = 1 - \sqrt[3]{x^2}$.

Sea $a$ un parámetro real. Considerad el plano $\pi \equiv 3x - 2y - z = 4$, el punto $P(1, 1, 0)$ y la recta $$r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \\ x - az = 1 \end{cases}$$ En cada caso, si existe, obtened el valor del parámetro $a$ para el cual:

Dados los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(0, 0, -2)$, $C(2, -1, 0)$, $D(-1, 2, -1)$ e $E(0, 0, 0)$.

Una prueba diagnóstica de una enfermedad da resultado negativo el $5\%$ de las veces que se aplica a un individuo que la padece y da positivo el $10\%$ de las veces que se aplica a un individuo que no la padece. Las estadísticas muestran que dicha enfermedad afecta a $50$ de cada $10000$ personas. Si una persona escogida al azar se somete a la prueba diagnóstica, calculad las probabilidades siguientes:

Se tienen tres urnas A, B y C. La urna A contiene $4$ bolas rojas y $2$ bolas negras. La urna B contiene $3$ bolas rojas y $3$ bolas negras. La urna C contiene $6$ bolas negras. Se escoge una urna al azar y se extraen dos bolas de manera consecutiva y sin reemplazo.