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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2017

4 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno/a debe responder solo los ejercicios de una de las dos opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 2 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 3 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dadas las matrices A=(10k1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} y B=(11−331−1)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}:
a
Determina, según los valores de kk, el rango de las matrices AA y BB.
b
Para el valor k=0k = 0, determina las matrices XX que verifican ABX=(00)ABX = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Calcula:
a.1
lim⁡x→−∞x+3e2xx+e2x\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 3e^{2x}}{x + e^{2x}}
a.2
lim⁡x→+∞x+3e2xx+e2x\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 3e^{2x}}{x + e^{2x}}
b
La derivada de una función f(x)f(x), que tiene por dominio (0,∞)(0, \infty), es f′(x)=1+ln⁡xf'(x) = 1 + \ln x. Determina la función f(x)f(x) teniendo en cuenta que su gráfica pasa por el punto (1,4)(1, 4).
c
Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de f(x)f(x).
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea rr la recta que pasa por los puntos (0,1,3)(0, 1, 3) y (1,1,1)(1, 1, 1) y ss la recta s:{x+y−2z−1=0y−2z=0s: \begin{cases} x + y - 2z - 1 = 0 \\ y - 2z = 0 \end{cases}
a
Estudia su posición relativa.
b
¿Es rr paralela al plano XYXY? ¿Está contenida en dicho plano?
c
Calcula la distancia de la recta rr al plano π:2x+z=0\pi: 2x + z = 0.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sean AA y BB dos sucesos con P(A)=0,7P(A) = 0{,}7; P(B)=0,6P(B) = 0{,}6 y P(A∪B)=0,9P(A \cup B) = 0{,}9.
a
¿Son AA y BB sucesos independientes? Justifica la respuesta.
b
Calcula P(A−B)P(A - B) y P(A/Bˉ)P(A / \bar{B}). (Nota: Bˉ\bar{B} suceso contrario o complementario de BB).
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Ejercicio 1

1
2 puntos
a
Discute, según los valores del parámetro mm, el sistema de ecuaciones:{3x−2y=0x−y+z=mx+my−2z=m\begin{cases} 3x - 2y = 0 \\ x - y + z = m \\ x + my - 2z = m \end{cases}
b
Resuélvelo, si es posible, cuando m=0m = 0.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la función f(x)=x1+∣x∣f(x) = \frac{x}{1 + |x|}:
a
Estudia, en x=0x = 0, la continuidad y derivabilidad de f(x)f(x).
b
Determina los puntos de la gráfica de f(x)f(x) en los que la recta tangente es paralela a la recta x−4y=0x - 4y = 0 y determina las ecuaciones de esas rectas tangentes.
c
Calcula ∫−10f(x) dx\int_{-1}^{0} f(x) \, dx.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Dados los planos α:2x−2y+4z−7=0\alpha: 2x - 2y + 4z - 7 = 0; β:{x=1−λ+3μy=5+λ+μz=4+λ−μ\beta: \begin{cases} x = 1 - \lambda + 3\mu \\ y = 5 + \lambda + \mu \\ z = 4 + \lambda - \mu \end{cases} y la recta r:{x+2z−3=0y−5=0r: \begin{cases} x + 2z - 3 = 0 \\ y - 5 = 0 \end{cases}
a
Estudia la posición relativa de los planos α\alpha y β\beta. Calcula la distancia entre ellos.
b
Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a α\alpha y contiene a la recta rr.
c
Sean PP y QQ los puntos de corte de la recta rr con los planos α\alpha y β\beta respectivamente. Calcula la distancia entre PP y QQ.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
El total de ventas diarias en un pequeño restaurante es una variable que sigue una distribución normal de media 12201220 € al día y desviación típica 120120 € al día.
a
Calcula la probabilidad de que en un día elegido al azar las ventas excedan de 14001400 €.
b
Si el restaurante debe vender al menos 980980 € al día para cubrir los gastos, ¿cuál es la probabilidad de que un día elegido al azar, el restaurante no cubra gastos?
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