Matemáticas II · Galicia 2017

Determina, según los valores de $k$, el rango de las matrices $A$ y $B$.

Para el valor $k = 0$, determina las matrices $X$ que verifican $ABX = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Discute, según los valores del parámetro $m$, el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} 3x - 2y = 0 \\ x - y + z = m \\ x + my - 2z = m \end{cases}$$

Resuélvelo, si es posible, cuando $m = 0$.

Calcula:

La derivada de una función $f(x)$, que tiene por dominio $(0, \infty)$, es $f'(x) = 1 + \ln x$. Determina la función $f(x)$ teniendo en cuenta que su gráfica pasa por el punto $(1, 4)$.

Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de $f(x)$.

Estudia, en $x = 0$, la continuidad y derivabilidad de $f(x)$.

Determina los puntos de la gráfica de $f(x)$ en los que la recta tangente es paralela a la recta $x - 4y = 0$ y determina las ecuaciones de esas rectas tangentes.

Calcula $\int_{-1}^{0} f(x) \, dx$.

Estudia su posición relativa.

¿Es $r$ paralela al plano $XY$? ¿Está contenida en dicho plano?

Calcula la distancia de la recta $r$ al plano $\pi: 2x + z = 0$.

Estudia la posición relativa de los planos $\alpha$ y $\beta$. Calcula la distancia entre ellos.

Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a $\alpha$ y contiene a la recta $r$.

Sean $P$ y $Q$ los puntos de corte de la recta $r$ con los planos $\alpha$ y $\beta$ respectivamente. Calcula la distancia entre $P$ y $Q$.

¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes? Justifica la respuesta.

Calcula $P(A - B)$ y $P(A / \bar{B})$. (Nota: $\bar{B}$ suceso contrario o complementario de $B$).

Calcula la probabilidad de que en un día elegido al azar las ventas excedan de $1400$ €.

Si el restaurante debe vender al menos $980$ € al día para cubrir los gastos, ¿cuál es la probabilidad de que un día elegido al azar, el restaurante no cubra gastos?