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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2018

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora, siempre que no tenga NINGUNA de las características siguientes: posibilidad de transmitir datos, ser programable, pantalla gráfica, almacenamiento de datos alfanuméricos, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas, cálculo de integrales o resolución de ecuaciones. Cualquiera que tenga alguna de estas características será retirada. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Considérense las matrices A=(011001)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y B=(323)B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}. Nota: MtM^t denota la matriz traspuesta de la matriz MM.
a
Calcúlese la matriz [(A⋅At)2−2A⋅At]11[(A \cdot A^t)^2 - 2A \cdot A^t]^{11}.1 pt
b
Determínense el número de filas y columnas de la matriz XX que verifica que X⋅At=BtX \cdot A^t = B^t. Justifíquese si AtA^t es una matriz invertible y calcúlese la matriz XX.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Considérese la región del plano SS definida por:S={(x,y)∈R2:x+2y≥4;x+2y≤12;x≤4;−x+2y≤12}S = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x + 2y \geq 4; \quad x + 2y \leq 12; \quad x \leq 4; \quad -x + 2y \leq 12 \right\}
a
Represéntese gráficamente la región SS y calcúlense las coordenadas de sus vértices.1 pt
b
Determínense los puntos en los que la función f(x,y)=3x−yf(x, y) = 3x - y alcanza sus valores máximo y mínimo en SS, indicando el valor de ff en dichos puntos.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Considérese la función real de variable real: f(x)=x1−4x2f(x) = \frac{x}{1 - 4x^2}.
a
Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff.1 pt
b
Estúdiense las asíntotas de ff.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Se va a celebrar una carrera popular. Entre los participantes, dos de cada tres hombres y tres de cada cuatro mujeres han entrenado para la carrera.
a
Se eligen al azar y de forma independiente un hombre y una mujer de entre los participantes. Calcúlese la probabilidad de que alguno de ellos haya entrenado para la carrera.1 pt
b
Si el 65%65\% de los participantes son hombres y el 35%35\% mujeres y se elige un participante al azar, calcúlese la probabilidad de que sea hombre sabiendo que ha entrenado para la carrera.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
La distancia anual, en kilómetros (km), que recorren las furgonetas de una empresa de reparto, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu km y desviación típica σ=24000\sigma = 24000 km.
a
Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que la amplitud del intervalo de confianza al 95%95\% para μ\mu sea a lo sumo de 2355023550 km.1 pt
b
Se toma una muestra aleatoria simple de 2525 furgonetas. Suponiendo que μ=150000\mu = 150000 km, calcúlese la probabilidad de que la distancia media anual observada, Xˉ\bar{X}, esté entre 144240144240 km y 153840153840 km.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}x+3y+z=a2x+ay−6z=8x−3y−5z=4}\left. \begin{array}{r l} x + 3y + z & = a \\ 2x + ay - 6z & = 8 \\ x - 3y - 5z & = 4 \end{array} \right\}
a
Discútase el sistema en función de los valores del parámetro real aa.1 pt
b
Resuélvase para a=4a = 4.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Los beneficios, en millones de euros, de una determinada inversión vienen dados por la función f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x, donde xx representa cierto índice que puede tomar cualquier valor real.
a
Determínese, en el caso de que exista, el valor del índice para el que el beneficio es mayor que el de todos los valores de un entorno suyo. ¿Cuál sería el beneficio para ese valor del índice?1 pt
b
Supóngase que el valor actual del índice es x=4x = 4 y que está previsto que éste experimente un incremento positivo. Justifíquese si el beneficio aumentará o disminuirá.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por:f(x)={x3+2exsi x<0,23+xsi x≥0.f(x) = \begin{cases} x^3 + 2e^x & \text{si } x < 0, \\ \frac{2}{3 + x} & \text{si } x \geq 0. \end{cases}
a
Determínense el dominio de f(x)f(x) y estúdiese su continuidad.1 pt
b
Calcúlese ∫−10f(x)dx\int_{-1}^{0} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sean AA y BB dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P(A)=0,4P(A) = 0{,}4, P(B)=0,6P(B) = 0{,}6 y P(A∪B)=0,8P(A \cup B) = 0{,}8. Nota: Sˉ\bar{S} denota el suceso complementario del suceso SS.
a
Calcúlese P(Aˉ∩B)P(\bar{A} \cap B).1 pt
b
Calcúlese P(A∪B‾∣A)P(\overline{A \cup B} \mid A).1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Una empresa quiere lanzar un producto al mercado. Por ello desea estimar la proporción de individuos, PP, que estarían dispuestos a comprarlo.
a
Asumiendo que la proporción poblacional es P=0,5P = 0{,}5, determínese el tamaño mínimo necesario de una muestra de individuos para garantizar que, con una confianza del 95%95\%, el margen de error en la estimación no supere el 3%3\% (±3%\pm 3\%).1 pt
b
Se tomó una muestra aleatoria simple de 450450 individuos de los cuales 9090 afirmaron que comprarían el producto. Obténgase un intervalo de confianza del 90%90\% para la proporción de individuos que estarían dispuestos a comprar el producto.1 pt
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