Matemáticas CCSS · Madrid 2018

Calcúlese la matriz $[(A \cdot A^t)^2 - 2A \cdot A^t]^{11}$.

Determínense el número de filas y columnas de la matriz $X$ que verifica que $X \cdot A^t = B^t$. Justifíquese si $A^t$ es una matriz invertible y calcúlese la matriz $X$.

Discútase el sistema en función de los valores del parámetro real $a$.

Resuélvase para $a = 4$.

Represéntese gráficamente la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices.

Determínense los puntos en los que la función $f(x, y) = 3x - y$ alcanza sus valores máximo y mínimo en $S$, indicando el valor de $f$ en dichos puntos.

Determínese, en el caso de que exista, el valor del índice para el que el beneficio es mayor que el de todos los valores de un entorno suyo. ¿Cuál sería el beneficio para ese valor del índice?

Supóngase que el valor actual del índice es $x = 4$ y que está previsto que éste experimente un incremento positivo. Justifíquese si el beneficio aumentará o disminuirá.

Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.

Estúdiense las asíntotas de $f$.

Determínense el dominio de $f(x)$ y estúdiese su continuidad.

Calcúlese $\int_{-1}^{0} f(x) dx$.

Se eligen al azar y de forma independiente un hombre y una mujer de entre los participantes. Calcúlese la probabilidad de que alguno de ellos haya entrenado para la carrera.

Si el $65\%$ de los participantes son hombres y el $35\%$ mujeres y se elige un participante al azar, calcúlese la probabilidad de que sea hombre sabiendo que ha entrenado para la carrera.

Calcúlese $P(\bar{A} \cap B)$.

Calcúlese $P(\overline{A \cup B} \mid A)$.

Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que la amplitud del intervalo de confianza al $95\%$ para $\mu$ sea a lo sumo de $23550$ km.

Se toma una muestra aleatoria simple de $25$ furgonetas. Suponiendo que $\mu = 150000$ km, calcúlese la probabilidad de que la distancia media anual observada, $\bar{X}$, esté entre $144240$ km y $153840$ km.

Asumiendo que la proporción poblacional es $P = 0{,}5$, determínese el tamaño mínimo necesario de una muestra de individuos para garantizar que, con una confianza del $95\%$, el margen de error en la estimación no supere el $3\%$ ($\pm 3\%$).

Se tomó una muestra aleatoria simple de $450$ individuos de los cuales $90$ afirmaron que comprarían el producto. Obténgase un intervalo de confianza del $90\%$ para la proporción de individuos que estarían dispuestos a comprar el producto.