Practica por temas

Halla la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ que pasa por los puntos $(2, e - 2 - 2\ln(2))$ y $(1, 0)$, y verifica que $f''(x) = e^{x-1} - \frac{1}{x}$.

Se considera la recta $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{3} = \dfrac{z+2}{-1}$ y el plano $\pi: 3x - my + z = 1$. Se pide: a) Determinar los valores del parámetro real $m$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos. Obtener además los valores de $m$ para los que el plano $\pi$ contiene a la recta $r$. (4 puntos) b) Para los valores $m$ del apartado anterior, hallar un plano paralelo a $\pi$ que contenga a la recta $r$. (3 puntos) c) Calcular, en función de $m$, la distancia entre $\pi$ y el punto $P = (1, -1, -2)$. (3 puntos)

En una universidad española, el $55\%$ del alumnado son mujeres y el $45\%$ son hombres. En esta universidad, el $13\%$ de las mujeres estudian una carrera STEM, mientras que el $37\%$ de los hombres también estudian una. Si escogemos un estudiante al azar:

La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de $70$ km/h.

Determina los valores de $a$ y $b$ para que los puntos $P = (1, 0, 1)$ y $Q = (\frac{1}{3}, a, b)$ sean simétricos respecto del plano $x - y + z = 1$. (Recuerda que: dos puntos se dicen simétricos respecto de un plano si están en una recta perpendicular al plano y a la misma distancia de éste.)