Practica por temas

Discuta el siguiente sistema de ecuaciones según el valor de $\alpha$ y resuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado: $$\begin{cases} x + y + z = \alpha - 1 \\ \alpha x + 2y + z = \alpha \\ x + y + \alpha z = 1 \end{cases}$$

Demostrar que la matriz $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ verifica la ecuación $M^2 + \lambda_1 M + \lambda_2 I = 0$ y determinar los escalares $\lambda_1$ y $\lambda_2$ de $\mathbb{R}$ (donde $I$ y $0$ son las matrices $2 \times 2$ identidad y cero).

Se considera el recinto del plano limitado por la curva: $y = -x^2 + 2x$ y por la curva: $y = x^2 - 10x$.

Dada la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 6 - \frac{1}{6}x^2$, determina las dimensiones de un rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de $f$ y la recta $y = 0$.

Se quiere construir una ventana rectangular de $1$ metro cuadrado de área. El coste del marco es de $12{,}5$ € por cada metro de altura y de $8$ € por cada metro de anchura. ¿Qué dimensiones debe tener la ventana para que el marco resulte lo más económico posible?