Practica por temas

Enuncia el teorema de Rolle. Encuentra los ceros de la primera derivada de la función $f(x) = x^3 - 12x + a$. Usa finalmente la información previa para probar que, con independencia del valor de $a$, la ecuación $x^3 - 12x + a = 0$ no tiene dos soluciones distintas en el intervalo $[-2, 2]$.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones $$S = \begin{cases} \lambda x + 2y = 3 \\ -x + 2\lambda z = -1 \\ 3x - y - 7z = \lambda + 1 \end{cases}$$ Discutir el sistema para los distintos valores de $\lambda$. Si existen casos de indeterminación resolver en dichos casos. Si no existen explicar porqué.

3.- (2 puntos) Dada la función f(x) = (1 - x²)·tan(x). Demuestra que tiene un máximo relativo en el intervalo (0, π/2).

Hallar $a, b, c$ de modo que la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ alcance en $x = 1$ un máximo relativo de valor $2$, y tenga en $x = 3$ un punto de inflexión.

Contesta razonadamente si, para la función $f(x) = \ln(x^2 + 3x)$ existe algún punto en el que la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ es perpendicular a la recta $2x - y + 2 = 0$.