Practica por temas

En la figura siguiente se muestran la parábola de ecuación $f(x) = 4 - x^2$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ de la parábola de abscisas respectivas $-1$ y $2$. Hallar la ecuación de una recta $s$ tangente a la parábola $f(x)$ y paralela a $r$.

Dada la función $$f(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}x^2\right) e^{x^2}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-1, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 2$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

APARTADO 2. ANÁLISIS (2.5 puntos) Responda a uno de los dos apartados 2.1 o 2.2

Se quiere cercar un trozo de terreno como el de la figura, de modo que el área del recinto central rectangular sea de $\frac{200}{\pi}$ metros cuadrados. Sabiendo que el coste de la cerca que se puede poner en los tramos rectos es de $10$ euros por metro lineal, y en los tramos circulares de $20$ euros por metro lineal, calcula las dimensiones $a$ y $b$ del terreno para las que se minimiza el coste del cercado.

Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de $29\%$, $51\%$ y $20\%$. Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes $18\%$, $31\%$ y $11\%$, respectivamente.