Practica por temas

Dada la función $$f(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}x^2\right) e^{x^2}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-1, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 2$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Sabiendo que $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1) - a \sen(x) + x \cos(3x)}{x^2}$$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite (ln denota logaritmo neperiano).

Una familia desea acotar una zona rectangular en el jardín de su casa para dedicarla al cultivo ecológico. Para ello dispone de 96 metros de valla, pero necesita dejar una abertura de 4 metros en uno de los laterales para instalar una puerta. Determina las dimensiones de la zona rectangular de área máxima que puede acotarse de esta manera y el valor de dicha área.

Sea la función $$f(x) = 2 - \cos x - 3x.$$

Calcula las integrales