Practica por temas

1.- (2 puntos) Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 1/x en el punto (3, 1/3). Comprueba que el segmento de esta recta comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia.

Dado el punto $A = (0, -1, 1)$ y el plano $\pi \equiv x + y + z + 3 = 0$,

Cada día, una planta productora de acero vende $x$ toneladas de acero de baja calidad e $y$ toneladas de acero de alta calidad. Por restricciones del sistema de producción debe suceder que $y = \frac{23 - 5x}{10 - x}$ siendo $0 < x < \frac{23}{5}$. El precio de una tonelada de acero de alta calidad es de 900 euros y el precio de una tonelada de acero de baja calidad es de 300 euros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Una empresa está trabajando en el diseño de unas cápsulas de café. La empresa ha construido la sección transversal de las cápsulas inscribiéndola en una semicircunferencia de radio 1, trazando a continuación una cuerda $CD$ paralela al diámetro $AB$ e incorporando el punto $E$ en el punto medio del arco $CD$. De esta manera queda trazado el pentágono $ACEDB$, tal como se muestra en la figura.

Un barco $B$ y dos ciudades $A$ y $C$ de la costa forman un triángulo rectángulo en $C$. Las distancias del barco a las ciudades $A$ y $C$ son $13\,\text{km}$ y $5\,\text{km}$, respectivamente. Un hombre situado en $A$ desea llegar hasta el barco $B$. Sabiendo que puede nadar a $3\,\text{km/h}$ y caminar a $5\,\text{km/h}$, ¿a qué distancia de $A$ debe abandonar la costa para nadar hasta $B$ si quiere llegar lo antes posible?