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Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo diferencial.

De entre todos los triángulos rectángulos con hipotenusa $10\,\text{cm}$, calcula las longitudes de los catetos que corresponden al de área máxima.

Calcula el valor de $m$ para que el área del recinto limitado por la recta $y = mx$ y la curva $y = x^3$ sea $2$ unidades cuadradas.

Encuentra el valor, o los valores, de $m$ para los que $A$ y $B$ tienen el mismo rango.

Determina, si existen, los valores de $m$ para los que $A$ y $B$ tienen el mismo determinante.

(2.5 puntos) La vela de un barco tiene forma de triángulo. Si la hipotenusa mide 8 m, calcula las dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima.

(2.5 puntos) Sea la función f(x) = -x² + αx + 11, donde α es un parámetro real. Calcula el valor de α para que f(x) tenga un máximo relativo en x = 1/2. Para ese valor de α calcula el área encerrada entre las gráficas f(x) y f'(x).