Practica por temas

Considera la región limitada por las curvas $y = x^2$ y $y = -x^2 + 4x$.

Calcule los siguientes límites:

Considera la función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \\ e^x - e^{-x} - 2x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Determina $a$, $b$ y $c$ sabiendo que $f$ es continua, alcanza un máximo relativo en $x = -1$ y la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -2$ tiene pendiente $2$.

Se tiene una abrevadero de longitud 6 m y de altura 1 m. Su sección es la descrita en la figura formada por la función y = x². Por h indicamos la altura del nivel del líquido. a) Comprueba que el área de la región S, sombreada en la figura, en función de h se puede expresar como S(h) = (4h√h)/3. (1.5 puntos) b) Determina la altura h donde se alcanza la mitad del volumen total del abrevadero. (Nota: Volumen = S × longitud). (1 punto)

Calcula el área de la superficie comprendida entre las curvas $f(x) = 6x - x^2$, $g(x) = x^2 - 2x$ y sus puntos de corte.