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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar). Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Sean las matricesA=(11−1−1),B=(01)yC=(2−2−20)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}
a
Calcula la matriz M=ATA−BBTM = A^T A - B B^T, donde ATA^T y BTB^T representan las matrices transpuestas de AA y BB respectivamente.3 pts
b
Justifica si MM es o no invertible. En caso afirmativo, resuelve los sistemas de ecuacionesM(ac)=(10)yM(bd)=(01)M \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad M \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}3 pts
c
Calcula la matriz XX que cumple la igualdad XM+A=CXM + A = C.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Sea I3I_3 la matriz identidad de orden 3×33 \times 3 y AA la matrizA=(100200−211)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}
a
Calcula la matriz B=3A−kI3B = 3A - k I_3, indicando su expresión en función del parámetro real kk.4 pts
b
Discute el rango de la matriz BB según el parámetro kk.4 pts
c
¿Para qué valores de kk se puede calcular la inversa de BB? Justifica la respuesta.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Sean P=(−1,1,1)P = (-1, 1, 1), Q=(7,1,7)Q = (7, 1, 7) y R=(−4,1,5)R = (-4, 1, 5) puntos de R3\mathbb{R}^3.
a
Comprueba que los tres puntos forman un triángulo rectángulo. Indica cuál de los 3 ángulos es recto.3 pts
b
¿Se podría construir un cuadrado añadiendo un solo vértice más? Justifica la respuesta.3 pts
c
Prueba que, para todo valor de aa real, el punto S=(a,1,0)S = (a, 1, 0) es coplanario con PP, QQ y RR.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Sean las rectasr:{x+2y=−1z=1ys:x+1=y−12=zr: \begin{cases} x + 2y = -1 \\ z = 1 \end{cases} \quad \text{y} \quad s: x + 1 = \frac{y - 1}{2} = z
a
Calcula la posición relativa de las dos rectas. Es decir, si son coincidentes, paralelas, se cortan o se cruzan. En los últimos dos casos especifica si lo hacen perpendicularmente.5 pts
b
Calcula la ecuación del plano que es paralelo a las dos rectas rr y ss, y pasa por el punto A=(2,2,1)A = (2, 2, 1).5 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Resuelve los siguientes apartados:
a
Dada la función f(x)=ax+bxf(x) = ax + b\sqrt{x}, determina los valores de aa y bb sabiendo que f(x)f(x) tiene su máximo en x=100x = 100 y que pasa por el punto (49,91)(49, 91).5 pts
b
Dada la funcióng(x)=(x−1)xx2−1g(x) = \frac{(x - 1) \sqrt{x}}{x^2 - 1}Indica cuál es su dominio. ¿Es g(x)g(x) una función continua en su dominio? Justifica la respuesta y, en caso negativo, indica qué tipo de discontinuidad presenta.5 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Calcula el área de la superficie comprendida entre las curvas f(x)=6x−x2f(x) = 6x - x^2, g(x)=x2−2xg(x) = x^2 - 2x y sus puntos de corte.
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Ejercicio 7

7
10 puntos
El 38%38\% de los habitantes de un pueblo afirman que su deporte favorito es la natación, mientras que el 21%21\% prefieren el ciclismo y los habitantes restantes se inclinan más por otros deportes. Si se escoge al azar una persona y, acto seguido otra diferente, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a
Que las dos personas sean aficionadas a la natación.3 pts
b
Que una de las dos personas sea aficionada al ciclismo y la otra a la natación.3 pts
c
Sabiendo que la primera prefiere el ciclismo, que la segunda no prefiera este deporte.4 pts
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Ejercicio 8

8
10 puntos
El peso, en gramos, de las judías en lata se distribuye normalmente con media μ\mu y desviación típica 7,87{,}8. Teniendo en cuenta que el 10%10\% de estas latas contienen menos de 200 g200\,\text{g}, calcula:
a
El valor de la media μ\mu redondeándola a las unidades.6 pts
b
El porcentaje de latas que contienen más de 225 g225\,\text{g} de judías. Nota: utiliza la media redondeada a las unidades.2 pts
c
El porcentaje de latas que contienen entre 190 g190\,\text{g} y 225 g225\,\text{g} de judías. Nota: utiliza la media redondeada a las unidades.2 pts
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