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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2024

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
10 puntos
Sean las matrices A=(11−1−1),B=(01)yC=(2−2−20)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}
a)3 pts
Calcula la matriz M=ATA−BBTM = A^T A - B B^T, donde ATA^T y BTB^T representan las matrices transpuestas de AA y BB respectivamente.
b)3 pts
Justifica si MM es o no invertible. En caso afirmativo, resuelve los sistemas de ecuaciones M(ac)=(10)yM(bd)=(01)M \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad M \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
c)4 pts
Calcula la matriz XX que cumple la igualdad XM+A=CXM + A = C.
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Sea I3I_3 la matriz identidad de orden 3×33 \times 3 y AA la matriz A=(100200−211)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}
a)4 pts
Calcula la matriz B=3A−kI3B = 3A - k I_3, indicando su expresión en función del parámetro real kk.
b)4 pts
Discute el rango de la matriz BB según el parámetro kk.
c)2 pts
¿Para qué valores de kk se puede calcular la inversa de BB? Justifica la respuesta.
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Sean P=(−1,1,1)P = (-1, 1, 1), Q=(7,1,7)Q = (7, 1, 7) y R=(−4,1,5)R = (-4, 1, 5) puntos de R3\mathbb{R}^3.
a)3 pts
Comprueba que los tres puntos forman un triángulo rectángulo. Indica cuál de los 3 ángulos es recto.
b)3 pts
¿Se podría construir un cuadrado añadiendo un solo vértice más? Justifica la respuesta.
c)4 pts
Prueba que, para todo valor de aa real, el punto S=(a,1,0)S = (a, 1, 0) es coplanario con PP, QQ y RR.
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Sean las rectas r:{x+2y=−1z=1ys:x+1=y−12=zr: \begin{cases} x + 2y = -1 \\ z = 1 \end{cases} \quad \text{y} \quad s: x + 1 = \frac{y - 1}{2} = z
a)5 pts
Calcula la posición relativa de las dos rectas. Es decir, si son coincidentes, paralelas, se cortan o se cruzan. En los últimos dos casos especifica si lo hacen perpendicularmente.
b)5 pts
Calcula la ecuación del plano que es paralelo a las dos rectas rr y ss, y pasa por el punto A=(2,2,1)A = (2, 2, 1).
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Resuelve los siguientes apartados:
a)5 pts
Dada la función f(x)=ax+bxf(x) = ax + b\sqrt{x}, determina los valores de aa y bb sabiendo que f(x)f(x) tiene su máximo en x=100x = 100 y que pasa por el punto (49,91)(49, 91).
b)5 pts
Dada la función g(x)=(x−1)xx2−1g(x) = \frac{(x - 1) \sqrt{x}}{x^2 - 1} Indica cuál es su dominio. ¿Es g(x)g(x) una función continua en su dominio? Justifica la respuesta y, en caso negativo, indica qué tipo de discontinuidad presenta.
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Calcula el área de la superficie comprendida entre las curvas f(x)=6x−x2f(x) = 6x - x^2, g(x)=x2−2xg(x) = x^2 - 2x y sus puntos de corte.
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Ejercicio 7

7
10 puntos
El 38%38\% de los habitantes de un pueblo afirman que su deporte favorito es la natación, mientras que el 21%21\% prefieren el ciclismo y los habitantes restantes se inclinan más por otros deportes. Si se escoge al azar una persona y, acto seguido otra diferente, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a)3 pts
Que las dos personas sean aficionadas a la natación.
b)3 pts
Que una de las dos personas sea aficionada al ciclismo y la otra a la natación.
c)4 pts
Sabiendo que la primera prefiere el ciclismo, que la segunda no prefiera este deporte.
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Ejercicio 8

8
10 puntos
El peso, en gramos, de las judías en lata se distribuye normalmente con media μ\mu y desviación típica 7,87{,}8. Teniendo en cuenta que el 10%10\% de estas latas contienen menos de 200 g200\,\text{g}, calcula:
a)6 pts
El valor de la media μ\mu redondeándola a las unidades.
b)2 pts
El porcentaje de latas que contienen más de 225 g225\,\text{g} de judías. Nota: utiliza la media redondeada a las unidades.
c)2 pts
El porcentaje de latas que contienen entre 190 g190\,\text{g} y 225 g225\,\text{g} de judías. Nota: utiliza la media redondeada a las unidades.
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