Practica por temas

Sea $f \colon [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \frac{\sen x}{2 - \cos x}$.

Representar el recinto finito del plano limitado por la recta $y = x + 2$ y por la parábola $y = x^2$. Calcular su área.

Calcule la siguiente integral indefinida: $$\int \frac{x^3}{x^2 + 1} dx$$

Considera las funciones $f, g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = |x| - 2$ y por $g(x) = 4 - x^2$.

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} x \ln x & \text{si } x > 0 \\ ax^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \end{cases}$$ Determine los valores de $a$, $b$ y $c$ para que la función sea continua, tenga un máximo en $x = -1$ y la tangente en $x = -2$ sea paralela a la recta $y = 2x$.