Practica por temas

6.- (2 puntos) Dadas las matrices A = [[a,1],[0,-a]] y B = [[a-4,-1],[0,2a]], halla a para que A² - A = 12I + B con I la matriz identidad de orden 2. A continuación, halla la matriz X tal que XA = AX = I.

Considera el punto $P = (-1, -1, -12)$ y el plano $\pi$ que contiene a los puntos $A = (1, -1, 1)$, $B = (1, 3, 2)$ y $O = (0, 0, 0)$.

Calcular el punto de la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 6x + 8$ en que la tangente en dicho punto es paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes. Hacer una representación gráfica y calcular dicha recta tangente.

Se quiere cercar un trozo de terreno como el de la figura, de modo que el área del recinto central rectangular sea de $\frac{200}{\pi}$ metros cuadrados. Sabiendo que el coste de la cerca que se puede poner en los tramos rectos es de $10$ euros por metro lineal, y en los tramos circulares de $20$ euros por metro lineal, calcula las dimensiones $a$ y $b$ del terreno para las que se minimiza el coste del cercado.

Calcular la distancia del punto $P = (3, 2, -1)$ a la recta que pasa por los puntos $A = (0, 1, 2)$ y $B = (1, 0, 2)$. Describir de forma razonada los pasos seguidos para dicho cálculo.