Practica por temas

Halla el punto simétrico de $P(2, 1, -5)$ respecto de la recta $r$ definida por $$\begin{cases} x - z = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{cases}$$

Determina la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ sabiendo que es derivable, que su función derivada cumple $$f'(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano) y que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(1, 0)$.

Consideremos el cubo que aparece a la figura adjunta. Supongamos que el punto $C$ tiene coordenadas $(1, 1, 1)$, las aristas del cubo son paralelas a los ejes coordenados (o sea, la arista $AE$ es paralela al eje $X$, la arista $AD$, al eje $Y$ y la arista $AB$, al eje $Z$) y los lados del cubo tienen longitud 2.

Entre todos los rectángulos de área $8\,\text{m}^2$ hallar las dimensiones del que minimiza el producto de las diagonales.

Considere los puntos $A = (1, 0, 0)$, $B = (-1, 0, -1)$ y $C = (0, -1, 0)$.