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Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular con las siguientes características: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de $100\,\text{cm}^2$, el margen superior tiene que ser de $2\,\text{cm}$, el inferior de $3\,\text{cm}$ y los laterales de $5\,\text{cm}$ cada uno. Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor cantidad de papel posible.

Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de $125\,\text{m}^3$. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.

Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular con las siguientes características: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de $100\text{ cm}^2$, el margen superior tiene que ser de $2\text{ cm}$, el inferior de $3\text{ cm}$ y los laterales de $5\text{ cm}$ cada uno. Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor cantidad de papel posible.

Dada la función: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Calcular $b$ y $c$ sabiendo que la función es derivable en el punto $x = 0$.

Resuelve la integral $$\int \frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} dx$$