Practica por temas

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$, $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden 2.

Sabiendo que $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1) - a \sen(x) + x \cos(3x)}{x^2}$$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite (ln denota logaritmo neperiano).

Halle $a$ y $b$ para que las rectas $r: \frac{x}{2} = y = \frac{z}{2 - a}$ y $s: x - bz = 0$ sean paralelas.

Demuestra que la derivada de la función $$f(x) = x^{\sen x}$$ se anula en algún punto del intervalo abierto $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función $f(x) = x^2 e^x$.