Practica por temas

Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por $AX = B$ siendo $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & m - 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} m \\ 2m + 1 \\ m - 1 \end{pmatrix}.$$

He pensado un número de tres cifras tal que la cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Además, si a dicho número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198. Por último, las tres cifras de mi número suman 12.

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $f$ en el punto de abscisa $x = 1$ sabiendo que $f(0) = 0$ y $f'(x) = \frac{(x - 1)^2}{x + 1}$ para $x > -1$.

Dos urnas A y B contienen bolas de colores con la siguiente composición: La urna A contiene 3 bolas verdes, 3 bolas rojas y 4 bolas negras, y la urna B contiene 1 bola verde, 3 bolas rojas y 5 bolas negras. Se saca al azar una bola de la urna A y se mete en la urna B. A continuación, se saca al azar una bola de la urna B. Calcule:

Comprueba que la función $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + 2 & \text{si } x \leq 2 \\ 6 - 2x & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ está definida y es continua en todo $\mathbb{R}$. Encuentra sus extremos relativos y absolutos en el intervalo $[-1, 3]$.