Matemáticas II · Extremadura 2012

Calcule el siguiente límite ($\ln$ denota el logaritmo neperiano) $$\lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln x$$

Estudie los extremos relativos, las asíntotas y el signo de la función $f(x) = x \cdot \ln x$ definida en el intervalo abierto $(0, +\infty)$.

Utilizando los datos obtenidos en los apartados (a) y (b) represente de forma aproximada la gráfica de la función $f(x)$ del apartado (b).

Estudie las asíntotas de la función $f(x) = e^{-x^2}$.

Calcule los extremos relativos y los puntos de inflexión de $f(x)$.

Utilizando los datos obtenidos en los apartados (a) y (b), haga la representación gráfica aproximada de la función $f(x)$.

Diga cuándo una función $F(x)$ es una primitiva de otra función $f(x)$.

Haciendo el cambio de variable $t = \sqrt{x - 1}$, calcule la primitiva de la función $f(x) = x \cdot \sqrt{x - 1}$ cuya gráfica pasa por el punto $(1,0)$ del plano.

Obtenga la ecuación implícita de $\Pi$.

Determine los valores de $c$ para los que $r$ y $\Pi$ son paralelos.

Determine los valores de $c$ para los que $r$ y $\Pi$ son perpendiculares.