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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2012

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2,5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Calcule el siguiente límite (ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano)lim⁡x→0+x⋅ln⁡x\lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln x1 pt
b
Estudie los extremos relativos, las asíntotas y el signo de la función f(x)=x⋅ln⁡xf(x) = x \cdot \ln x definida en el intervalo abierto (0,+∞)(0, +\infty).1 pt
c
Utilizando los datos obtenidos en los apartados (a) y (b) represente de forma aproximada la gráfica de la función f(x)f(x) del apartado (b).0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Diga cuándo una función F(x)F(x) es una primitiva de otra función f(x)f(x).0,5 pts
b
Haciendo el cambio de variable t=x−1t = \sqrt{x - 1}, calcule la primitiva de la función f(x)=x⋅x−1f(x) = x \cdot \sqrt{x - 1} cuya gráfica pasa por el punto (1,0)(1,0) del plano.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcule los valores de aa para los que el determinante de la matriz BB es igual a 3232, ∣B∣=32|B| = 32 siendo B=2⋅A2B = 2 \cdot A^2 yA=(a1−a110102)A = \begin{pmatrix} a & 1 & -a \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados el plano Π\Pi de ecuación x+z=1x + z = 1 y los puntos A=(1,0,0)A = (1, 0, 0) y B=(0,1,0)B = (0, 1, 0), calcule los valores de cc para los que el punto P=(0,0,c)P = (0, 0, c) cumple "área del triángulo ABP=distancia de P a ΠABP = \text{distancia de } P \text{ a } \Pi".
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Estudie las asíntotas de la función f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}.0,75 pts
b
Calcule los extremos relativos y los puntos de inflexión de f(x)f(x).1 pt
c
Utilizando los datos obtenidos en los apartados (a) y (b), haga la representación gráfica aproximada de la función f(x)f(x).0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcule, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva F(x)F(x) de la función f(x)=(x+1)2⋅sen⁡xf(x) = (x + 1)^2 \cdot \sen x que cumpla F(0)=1F(0) = 1.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
¿Existe una matriz X=(xyzx)X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & x \end{pmatrix} que cumpla(1211)⋅X=X⋅(111−1)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot X = X \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}y sea NO nula? Razone la respuesta.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea Π\Pi el plano determinado por los puntos A=(1,0,0)A = (1, 0, 0), B=(0,1,0)B = (0, 1, 0) y P=(0,0,c)P = (0, 0, c), y sea la recta r:{x−y=32x−z=3r: \begin{cases} x - y = 3 \\ 2x - z = 3 \end{cases}
a
Obtenga la ecuación implícita de Π\Pi.0,5 pts
b
Determine los valores de cc para los que rr y Π\Pi son paralelos.1 pt
c
Determine los valores de cc para los que rr y Π\Pi son perpendiculares.1 pt
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