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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2012

4 ejercicios

Instrucciones

Responder solo a los ejercicios de una de las opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 3 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la matriz A=(mmm2 1m2m2 111)A = \begin{pmatrix} m & m & m^2 \ 1 & m^2 & m^2 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
a
Estudia, según los valores de mm, el rango de la matriz AA.2 pts
b
Resuelve, si es posible, el sistema A⋅(xyz)=(111)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} para el valor m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dados los puntos A(3,0,2)A(3, 0, 2), B(1,−2,0)B(1, -2, 0), C(1,−1,3)C(1, -1, 3) y D(λ,λ−2,−λ)D(\lambda, \lambda - 2, -\lambda):
a
Determina el valor de λ\lambda para que A,B,CA, B, C y DD sean coplanarios. ¿Para algún valor de λ\lambda son A,B,CA, B, C y DD vértices de un paralelogramo?2 pts
b
Calcula las ecuaciones paramétricas del plano π\pi que pasa por el punto CC y es perpendicular a la recta rr que pasa por los puntos AA y BB.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Enuncia el teorema de Bolzano. Probar que la función f(x)=x3+2x−4f(x) = x^3 + 2x - 4 corta el eje OXOX en algún punto del intervalo [1,2][1, 2]. ¿Puede cortarlo en más de un punto?1 pt
b
Calcula lim⁡x→0(x+2x2+x+2)1x2\lim_{x \to 0} \left( \frac{x + 2}{x^2 + x + 2} \right)^{\frac{1}{x^2}}.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y=3x−x2y = 3x - x^2 y su recta normal en el punto (3,0)(3, 0). (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y la concavidad o convexidad).
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dado el sistema:{x−2y+3z=5x−3y+2z=−4\begin{cases} x - 2y + 3z = 5 \\ x - 3y + 2z = -4 \end{cases}
a
Calcula el valor de α\alpha para que al añadirle la ecuación αx+3y+z=9\alpha x + 3y + z = 9, resulte un sistema compatible indeterminado. Resuélvelo, si es posible, para α=0\alpha = 0.2 pts
b
¿Existe algún valor de α\alpha para el cual el sistema con estas 3 ecuaciones no tiene solución?1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Si ∣v⃗∣=6|\vec{v}| = 6, ∣w⃗∣=10|\vec{w}| = 10 y ∣v⃗+w⃗∣=14|\vec{v} + \vec{w}| = 14, calcula el ángulo que forman los vectores v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w}.1 pt
b
Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(−1,5,0)A(-1, 5, 0) y B(0,1,1)B(0, 1, 1) y es paralelo a la recta r:{3x+2y−3=02y−3z−1=0r: \begin{cases} 3x + 2y - 3 = 0 \\ 2y - 3z - 1 = 0 \end{cases}.2 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Determina los valores de aa para que la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)={a−x2si x≤12axsi x>1f(x) = \begin{cases} a - x^2 & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{2}{ax} & \text{si } x > 1 \end{cases} sea continua. ¿Es derivable en x=1x = 1 para algún valor de aa?1 pt
b
Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo diferencial.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcula ∫235x3−3x+1x3−xdx\int_{2}^{3} \frac{5x^3 - 3x + 1}{x^3 - x} dx.
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