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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2010

18 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué es lo que quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se pueden utilizar calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Encuentre la ecuación general (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0) del plano que contiene la recta r1:x−12=y=2−zr_1: \frac{x - 1}{2} = y = 2 - z y es paralelo a la recta r2:{x−y−z=0x−2y+z=0r_2: \begin{cases} x - y - z = 0 \\ x - 2y + z = 0 \end{cases}.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Dados el plano π:x+2y+3z−4=0\pi: x + 2y + 3z - 4 = 0 y los puntos P=(3,1,−2)P = (3, 1, -2) y Q=(0,1,2)Q = (0, 1, 2):
a
Calcule la ecuación continua de la recta perpendicular al plano π\pi que pasa por el punto PP.1 pt
b
Calcule la ecuación general (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0) del plano perpendicular a π\pi que pasa por los puntos PP y QQ.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción C

1Opción C
2 puntos
Considere un sistema cualquiera de dos ecuaciones con tres incógnitas. Responda razonadamente a las cuestiones siguientes:
a
¿Es posible que el sistema considerado sea compatible determinado?1 pt
b
¿Puede ser incompatible?1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales {x+2y−z=−12x+y+z=4x−y+pz=5\begin{cases} x + 2y - z = -1 \\ 2x + y + z = 4 \\ x - y + pz = 5 \end{cases}:
a
Estudie su carácter (es decir, si es compatible o no y si es determinado o no) en función del parámetro pp.1,5 pts
b
Compruebe que si p≠5p \neq 5 la solución del sistema no depende del valor de este parámetro.0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Considere la igualdad matricial (A+B)2=A2+2AB+B2(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2.
a
Compruebe si las matrices A=(−1−212)A = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} y B=(22−1−1)B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} cumplen o no la igualdad anterior.1 pt
b
En general, dadas dos matrices cualesquiera AA y BB cuadradas del mismo orden, explique razonadamente si hay alguna condición que deban cumplir para que la igualdad del enunciado sea cierta.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción C

2Opción C
2 puntos
Dados el punto P=(1,0,−2)P = (1, 0, -2) y la recta r:x−52=y−32=z+3−3r: \frac{x - 5}{2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 3}{-3}:
a
Encuentre la ecuación continua de la recta que pasa por el punto PP y corta perpendicularmente la recta rr.1,5 pts
b
Calcule la distancia del punto PP a la recta rr.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Un segmento de longitud fijada mm se apoya sobre los ejes de coordenadas. Calcule el valor del ángulo α\alpha que forma el segmento con el eje OXOX para que el triángulo rectángulo determinado por el segmento con los ejes y del cual mm es la hipotenusa tenga área máxima. Compruebe que se trata realmente de un máximo.
Diagrama de un segmento de longitud m apoyado en los ejes OX y OY formando un ángulo alfa con el eje OX.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Sea P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c un polinomio cualquiera de segundo grado.
a
Encuentre la relación existente entre los parámetros aa, bb y cc sabiendo que se cumple que P(1)=0P(1) = 0 y P(2)=0P(2) = 0.1 pt
b
Cuando se cumple la condición anterior, indique qué valores puede tener P′(3/2)P'(3/2).1 pt
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Ejercicio 3 · Opción C

3Opción C
2 puntos
Determine el valor de los parámetros aa, bb y cc para que la gráfica de la función f(x)=ax2+bx+cf(x) = \frac{a}{x^2 + bx + c} sea la siguiente:
Gráfica de una función racional con asíntotas verticales en x=-3 y x=1, y un máximo local en (-1, -2).
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Dadas las rectas r1:x+53=y−12=z−2−4r_1: \frac{x + 5}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{-4} y r2:{2x+y+2z+5=02x−y+z+11=0r_2: \begin{cases} 2x + y + 2z + 5 = 0 \\ 2x - y + z + 11 = 0 \end{cases}:
a
Compruebe que son paralelas.1 pt
b
Encuentre la ecuación general (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0) del plano que las contiene.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Hemos escalonado la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales, A⋅X=bA \cdot X = b, y hemos obtenido:(1−2320a+21−100a−13)\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 2 \\ 0 & a + 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & a - 1 & 3 \end{pmatrix}
a
Discuta este sistema en función del parámetro aa.1,5 pts
b
Resuélvalo cuando a=2a = 2.0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción C

4Opción C
2 puntos
Sean AA, BB y CC matrices cuadradas de orden nn.
a
Explique razonadamente si es posible que det⁡A≠0\det A \neq 0, det⁡B≠0\det B \neq 0 y det⁡(A⋅B)=0\det(A \cdot B) = 0. Si es posible, ponga un ejemplo.1 pt
b
Si sabemos que det⁡A≠0\det A \neq 0 y que A⋅B=A⋅CA \cdot B = A \cdot C, explique razonadamente si podemos asegurar que B=CB = C.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
La gráfica de la función f(x)=x⋅sen⁡(x)f(x) = x \cdot \sen(x) es la siguiente:
Gráfica de la función f(x) = x sen(x) en el intervalo [0, pi].
a
Encuentre una primitiva.1,5 pts
b
Aplicando el resultado del apartado anterior, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje de abscisas desde x=0x = 0 hasta x=πx = \pi.0,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
En la figura siguiente se representan dos funciones. Una es la derivada de la otra. Decida si la función f(x)f(x) es la derivada de la función g(x)g(x) o es al revés, estudiando qué pasa en los puntos x=ax = a, x=bx = b y x=cx = c.
Gráficas de las funciones f(x) y g(x) con puntos marcados en a, b y c para analizar su relación de derivación.
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Ejercicio 5 · Opción C

5Opción C
2 puntos
Sean rr y ss dos rectas de ecuaciones r:(x,y,z)=(−4,3,4)+t(2,−1,1)r: (x, y, z) = (-4, 3, 4) + t(2, -1, 1) y s:x+1=y−2−1=z−a3s: x + 1 = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - a}{3}.
a
Encuentre el valor del parámetro aa para que estas rectas se corten.1,5 pts
b
En el caso en que se corten, encuentre la ecuación general (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0) del plano que las contiene.0,5 pts
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Sea A=(x3−2y)A = \begin{pmatrix} x & 3 \\ -2 & y \end{pmatrix}. Encuentre los valores de las variables xx e yy para que se cumpla que A2=AA^2 = A.
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Sean u⃗1=(−1,3,2)\vec{u}_1 = (-1, 3, 2), u⃗2=(2,−1,4)\vec{u}_2 = (2, -1, 4) y u⃗3=(a+1,a−1,4a+2)\vec{u}_3 = (a + 1, a - 1, 4a + 2) tres vectores del espacio vectorial R3\mathbb{R}^3.
a
Encuentre el valor del parámetro aa para el cual el vector u⃗3\vec{u}_3 es combinación lineal de los vectores u⃗1\vec{u}_1 y u⃗2\vec{u}_2.1 pt
b
Compruebe que para a=0a = 0 el conjunto {u⃗1,u⃗2,u⃗3}\{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\} es linealmente independiente.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción C

6Opción C
2 puntos
En la figura se muestra la curva y=x(4−x)y = x(4 - x) y una recta rr que pasa por el origen y corta la curva en un punto PP de abscisa kk, con 0<k<40 < k < 4.
Gráfica de la parábola y = x(4-x) y una recta secante que pasa por el origen y el punto P(k, f(k)), con el área entre ambas sombreada.
a
Encuentre el área sombreada, delimitada por la curva y la recta, en función de kk.1 pt
b
Encuentre para qué valor de kk el área de la región sombreada es la mitad del área del recinto limitado por la curva y el eje OXOX.1 pt
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