Matemáticas II · Cataluña 2010

Encuentre la ecuación general (es decir, de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$) del plano que contiene la recta $r_1: \frac{x - 1}{2} = y = 2 - z$ y es paralelo a la recta $r_2: \begin{cases} x - y - z = 0 \\ x - 2y + z = 0 \end{cases}$.

Dados el plano $\pi: x + 2y + 3z - 4 = 0$ y los puntos $P = (3, 1, -2)$ y $Q = (0, 1, 2)$:

Considere un sistema cualquiera de dos ecuaciones con tres incógnitas. Responda razonadamente a las cuestiones siguientes:

Dado el sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} x + 2y - z = -1 \\ 2x + y + z = 4 \\ x - y + pz = 5 \end{cases}$:

Considere la igualdad matricial $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Dados el punto $P = (1, 0, -2)$ y la recta $r: \frac{x - 5}{2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 3}{-3}$:

Un segmento de longitud fijada $m$ se apoya sobre los ejes de coordenadas. Calcule el valor del ángulo $\alpha$ que forma el segmento con el eje $OX$ para que el triángulo rectángulo determinado por el segmento con los ejes y del cual $m$ es la hipotenusa tenga área máxima. Compruebe que se trata realmente de un máximo.

Sea $P(x) = ax^2 + bx + c$ un polinomio cualquiera de segundo grado.

Determine el valor de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para que la gráfica de la función $f(x) = \frac{a}{x^2 + bx + c}$ sea la siguiente:

Dadas las rectas $r_1: \frac{x + 5}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{-4}$ y $r_2: \begin{cases} 2x + y + 2z + 5 = 0 \\ 2x - y + z + 11 = 0 \end{cases}$:

Hemos escalonado la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales, $A \cdot X = b$, y hemos obtenido: $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 2 \\ 0 & a + 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & a - 1 & 3 \end{pmatrix}$$

Sean $A$, $B$ y $C$ matrices cuadradas de orden $n$.

La gráfica de la función $f(x) = x \cdot \sen(x)$ es la siguiente:

En la figura siguiente se representan dos funciones. Una es la derivada de la otra. Decida si la función $f(x)$ es la derivada de la función $g(x)$ o es al revés, estudiando qué pasa en los puntos $x = a$, $x = b$ y $x = c$.

Sean $r$ y $s$ dos rectas de ecuaciones $r: (x, y, z) = (-4, 3, 4) + t(2, -1, 1)$ y $s: x + 1 = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - a}{3}$.

Sea $A = \begin{pmatrix} x & 3 \\ -2 & y \end{pmatrix}$. Encuentre los valores de las variables $x$ e $y$ para que se cumpla que $A^2 = A$.

Sean $\vec{u}_1 = (-1, 3, 2)$, $\vec{u}_2 = (2, -1, 4)$ y $\vec{u}_3 = (a + 1, a - 1, 4a + 2)$ tres vectores del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$.

En la figura se muestra la curva $y = x(4 - x)$ y una recta $r$ que pasa por el origen y corta la curva en un punto $P$ de abscisa $k$, con $0 < k < 4$.