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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumnado contestará solo CUATRO problemas entre los OCHO propuestos. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 4 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se considera la matriz A=(0k3k1312−1−1)A = \begin{pmatrix} 0 & k & 3 \\ k & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} donde kk es un número real: a) ¿Para qué valores del parámetro kk la matriz es invertible? (2 puntos) b) Para k=0k=0, si existe, calcular la matriz inversa de AA. (4 puntos) c) Para k=0k=0, hallar las matrices diagonales DD que verifican AD=DAAD = DA. (4 puntos)
a
¿Para qué valores del parámetro kk la matriz es invertible?2 pts
b
Para k=0k=0, si existe, calcular la matriz inversa de AA.4 pts
c
Para k=0k=0, hallar las matrices diagonales DD que verifican AD=DAAD = DA.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Sean las matrices A=(102321a03)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ a & 0 & 3 \end{pmatrix} y B=(αβγ)B = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}. Se pide: a) Estudiar los valores del parámetro real aa para los que la ecuación matricial A2X=BA^2 X = B tiene una única solución. (5 puntos) b) Sabiendo que el vector (3−2−1)\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} es una solución de la ecuación matricial A2X=BA^2 X = B, encontrar el valor de α\alpha, β\beta y γ\gamma dependiendo del parámetro real aa. (5 puntos)
a
Estudiar los valores del parámetro real aa para los que la ecuación matricial A2X=BA^2 X = B tiene una única solución.5 pts
b
Sabiendo que el vector (3−2−1)\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} es una solución de la ecuación matricial A2X=BA^2 X = B, encontrar el valor de α\alpha, β\beta y γ\gamma dependiendo del parámetro real aa.5 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se dan las rectas r:x−1=y−2=z−12r: x - 1 = y - 2 = \dfrac{z-1}{2} y s:x−3−2=y−3−1=z+12s: \dfrac{x-3}{-2} = \dfrac{y-3}{-1} = \dfrac{z+1}{2}. Se pide: a) Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto PP de intersección. (5 puntos) b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por PP y es perpendicular a rr y a ss. (5 puntos)
a
Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto PP de intersección.5 pts
b
Determinar la ecuación de la recta que pasa por PP y es perpendicular a rr y a ss.5 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Sea el plano π:6x+4y−3z−d=0\pi: 6x + 4y - 3z - d = 0. Se pide: a) Calcular los valores de dd para que la distancia del plano al origen sea una unidad. (2 puntos) b) Calcular, en función del parámetro dd, las coordenadas de los puntos AA, BB y CC que resultan de intersectar el plano π\pi con los ejes de coordenadas, XX, YY y ZZ, respectivamente. (3 puntos) c) Para d≠0d \neq 0, calcular el ángulo formado por los vectores AB→\overrightarrow{AB} y AC→\overrightarrow{AC} determinados por los puntos del apartado anterior. (5 puntos)
a
Calcular los valores de dd para que la distancia del plano al origen sea una unidad.2 pts
b
Calcular, en función del parámetro dd, las coordenadas de los puntos AA, BB y CC que resultan de intersectar el plano π\pi con los ejes de coordenadas, XX, YY y ZZ, respectivamente.3 pts
c
Para d≠0d \neq 0, calcular el ángulo formado por los vectores AB→\overrightarrow{AB} y AC→\overrightarrow{AC} determinados por los puntos del apartado anterior.5 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Se considera la función h(x)=ax+x2h(x) = ax + x^2 donde aa es un parámetro real. Se pide: a) El valor de aa que hace que la gráfica de la función y=h(x)y = h(x) tenga un mínimo relativo en la abscisa x=−34x = \dfrac{-3}{4}. (3 puntos) b) Para el valor de aa del apartado anterior, dibuja las curvas y=h(x)y = h(x) e y=h′(x)y = h'(x). (2 puntos) c) Calcula el área del plano comprendida entre ambas curvas. (5 puntos)
a
El valor de aa que hace que la gráfica de la función y=h(x)y = h(x) tenga un mínimo relativo en la abscisa x=−34x = \dfrac{-3}{4}.3 pts
b
Para el valor de aa del apartado anterior, dibuja las curvas y=h(x)y = h(x) e y=h′(x)y = h'(x).2 pts
c
Calcula el área del plano comprendida entre ambas curvas.5 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Se construye una caja de cartón sin tapa a partir de una hoja rectangular de 16 cm por 10 cm. Esto se hace recortando un cuadrado de longitud xx en cada esquina, doblando la hoja y levantando los cuatro laterales de la caja. Calcular: a) Las dimensiones de la caja para que tenga el mayor volumen posible. (8 puntos) b) Dicho volumen. (2 puntos)
a
Las dimensiones de la caja para que tenga el mayor volumen posible.8 pts
b
Dicho volumen.2 pts
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Ejercicio 7

7
10 puntos
Una empresa tiene 3 máquinas de fabricación de latas de refresco. El 10.25% de las latas que fabrica la empresa son defectuosas. El 30% de las latas las fabrica en la primera máquina, siendo el 10% defectuosas. El 25% de las latas las fabrica en la segunda máquina, siendo el 5% defectuosas. El resto de las latas las fabrica en la tercera máquina. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lata fabricada por la tercera máquina sea defectuosa? (4 puntos) b) Si se escoge una lata al azar y no es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina? (3 puntos) c) Si se escoge una lata al azar y es defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la segunda máquina? (3 puntos)
a
¿Cuál es la probabilidad de que una lata fabricada por la tercera máquina sea defectuosa?4 pts
b
Si se escoge una lata al azar y no es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina?3 pts
c
Si se escoge una lata al azar y es defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la segunda máquina?3 pts
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Ejercicio 8

8
10 puntos
Se ha determinado que el 60% de los mensajes enviados por WhatsApp se añade un emoticono. Una persona envía 10 mensajes de WhatsApp. Se pide la probabilidad de que: a) Ningún mensaje de los diez tenga emoticonos. (3 puntos) b) Exactamente dos quintas partes de los mensajes tengan emoticonos. (3 puntos) c) Ocho o más mensajes tengan emoticonos. (4 puntos) Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.
a
Ningún mensaje de los diez tenga emoticonos.3 pts
b
Exactamente dos quintas partes de los mensajes tengan emoticonos.3 pts
c
Ocho o más mensajes tengan emoticonos.4 pts
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