Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2001Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2001

16 ejercicios

Instrucciones

El alumno debe responder a cuatro preguntas. Una sola pregunta de cada un de los cuatro bloques temáticos: Álgebra, Geometría, Análisis Matemático y Estadística. La puntuación máxima de cada pregunta es de 2,5 puntos. Solamente se puntuará la primera pregunta respondida de cada uno de los cuatro bloques temáticos. No se puntuarán respuestas (Sí o No) que no vengan acompañadas de una justificación.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

a
Propiedades del producto de matrices (solo enunciarlas).1 pt
b
Sean M=(011001000)M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} y N=M+IN = M + I, donde II denota la matriz identidad de orden nn, calcule N2N^2 y M3M^3. ¿Son MM o NN inversibles? Razone la respuesta.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

a
Propiedades de los determinantes (solo enunciarlas).1 pt
b
Sean F1,F2,F3F_1, F_2, F_3 y F4F_4 las filas de una matriz cuadrada PP de orden 4×44 \times 4, tal que su determinante vale 33. Calcule razonadamente el valor del determinante de la inversa de PP, el valor del determinante de la matriz αP\alpha P, donde α\alpha denota un número real no nulo, y el valor del determinante de la matriz tal que sus filas son 2F1−F42F_1 - F_4, F3F_3, 7F27F_2 y F4F_4.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a
¿En qué posición relativa pueden estar tres planos en el espacio que no tienen ningún punto en común?1 pt
b
Determine la posición relativa de los planos π:x−2y+3z=4\pi: x - 2y + 3z = 4, σ:2x+y+z+1=0\sigma: 2x + y + z + 1 = 0 y φ:−2x+4y−6z=0\varphi: -2x + 4y - 6z = 0.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a
Ángulo que forman dos rectas.1 pt
b
Determine el ángulo que forman la recta rr, que pasa por el punto (1,−1,0)(1, -1, 0) y tal que su vector director es v⃗=(−2,0,1)\vec{v} = (-2, 0, 1), y la recta ss de ecuación: x−74=y+64=z2\frac{x - 7}{4} = \frac{y + 6}{4} = \frac{z}{2}.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas.

Sabiendo que P(x)P(x) es un polinomio de tercer grado con un punto de inflexión en (1,0)(1, 0) y con P′′(1)=24P''(1) = 24 donde, además, la tangente al polinomio en ese punto es horizontal, calcule ∫−10P(x)dx\int_{-1}^{0} P(x) dx.
Ver este ejercicio

Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas.

Dadas f(x)=x−∣x∣2f(x) = \frac{x - |x|}{2} y g(x)={3xx≤0x2x>0g(x) = \begin{cases} 3x & x \leq 0 \\ x^2 & x > 0 \end{cases}, calcule ∫−10x2(g∘f)(x)dx\int_{-1}^{0} x^2 (g \circ f)(x) dx. (g∘fg \circ f denota la composición de esas funciones).
Ver este ejercicio

Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

Un vendedor de coches estima las siguientes probabilidades para el número de coches que vende en una semana: Calcule el número esperado de coches que venderá en una semana. Si el vendedor recibe un salario semanal de 25.00025.000 pesetas, más 25.00025.000 pesetas adicionales por cada coche vendido, ¿Cuál es la probabilidad de que una semana su salario sea inferior a 100.000100.000 pesetas en el supuesto de que se sepa que es superior a 25.00025.000 pesetas?
Número de coches01234
Probabilidad0,220,350,250,10,08
Ver este ejercicio

Ejercicio 8 · Opción A

8Opción A
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

La vida útil de una marca de lámparas sigue una distribución normal de media 1.2001.200 horas y desviación típica 250250 horas. ¿Qué proporción de lámparas tiene un tiempo de vida inferior a 1.0501.050 horas?, ¿qué proporción de lámparas tiene un tiempo de vida superior a 1.3501.350 horas? Explique brevemente el porqué de la relación entre los resultados. ¿Qué proporción de lámparas tiene un tiempo de vida entre 1.0501.050 y 1.3501.350 horas?
Datos
  • Si ZZ es una variable con distribución N(0,1)N(0, 1), entonces P(Z<0,6)=0,7257P(Z < 0{,}6) = 0{,}7257
Ver este ejercicio

Ejercicio 9 · Opción B

9Opción B
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

Calcule α\alpha para que el siguiente sistema homogéneo tenga más soluciones que la trivial. Resuélvalo para dicho valor de α\alpha y dé una interpretación geométrica del sistema de ecuaciones y de su solución.{x+2y−z=02x+y−αz=0x−y−z=0\begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ 2x + y - \alpha z = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases}
Ver este ejercicio

Ejercicio 10 · Opción B

10Opción B
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

Calcule los valores del parámetro α\alpha para los que la matriz MM no tiene inversa. Calcule la matriz inversa de MM para α=2\alpha = 2, si es posible.M=(10−10α341−α)M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & \alpha & 3 \\ 4 & 1 & -\alpha \end{pmatrix}
Ver este ejercicio

Ejercicio 11 · Opción B

11Opción B
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a
Sean u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} dos vectores. Compruebe que si (u⃗+v⃗)(u⃗−v⃗)=0(\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} - \vec{v}) = 0 entonces ∣u⃗∣=∣v⃗∣|\vec{u}| = |\vec{v}|.1 pt
b
Calcule los vectores unitarios que sean perpendiculares a los vectores u⃗=(−3,4,1)\vec{u} = (-3, 4, 1) y v⃗=(−2,1,0)\vec{v} = (-2, 1, 0).1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 12 · Opción B

12Opción B
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a
Definición de distancia mínima entre dos rectas en el espacio. Casos posibles.1 pt
b
Calcule la distancia entre las rectas rr y ss, donde rr tiene por ecuaciones x=3y=5zx = 3y = 5z y la recta ss pasa por los puntos A=(1,1,1)A = (1, 1, 1) y B=(1,2,−3)B = (1, 2, -3).1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 13 · Opción B

13Opción B
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas.

a
¿Puede haber dos funciones distintas que tengan igual función derivada? Si la respuesta es afirmativa, ponga un ejemplo. Si, por el contrario, la respuesta es negativa, razónela.1 pt
b
Calcule la derivada de la función f(x)=∣x−2∣f(x) = |x - 2| en x=2x = 2, si es posible. Represente la gráfica de la función y, sobre ella, razone su respuesta.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 14 · Opción B

14Opción B
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas.

a
Enunciado del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.1,5 pts
b
Sean ff y gg, dos funciones continuas, definidas en el intervalo [a,b][a, b], que verifican que ∫abf=∫abg\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} g. Demuestre que existen α,β∈[a,b]\alpha, \beta \in [a, b] tales que f(α)=g(β)f(\alpha) = g(\beta).1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 15 · Opción B

15Opción B
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

El tiempo, en horas, que tarda un autobús en hacer el recorrido entre dos ciudades es una variable aleatoria con función de densidad: f(x)=0,3(3x−x2)f(x) = 0{,}3(3x - x^2) si x∈[1,3]x \in [1, 3] (y cero en otro caso).
a
Calcule el tiempo medio que tarda en hacer el trayecto.1 pt
b
Calcule la probabilidad de que la duración de un trayecto sea inferior a dos horas si se sabe que es superior a una hora y media.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 16 · Opción B

16Opción B
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

Un saltador de longitud salta una media de 88 metros con desviación típica de 2020 cm. Para poder ir a la próxima olimpiada es necesario tener una marca de 8,308{,}30 metros. ¿Qué probabilidad tiene de conseguir esta marca en un salto? Y, ¿cuál es esta probabilidad si realiza diez saltos?
Datos
  • Si ZZ es una variable con distribución N(0,1)N(0, 1), entonces P(Z<1,5)=0,93P(Z < 1{,}5) = 0{,}93
Ver este ejercicio