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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2001Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2001

16 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Propiedades del producto de matrices (solo enunciarlas).
b)1,5 pts
Sean M=(011001000)M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} y N=M+IN = M + I, donde II denota la matriz identidad de orden nn, calcule N2N^2 y M3M^3. ¿Son MM o NN inversibles? Razone la respuesta.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Propiedades de los determinantes (solo enunciarlas).
b)1,5 pts
Sean F1,F2,F3F_1, F_2, F_3 y F4F_4 las filas de una matriz cuadrada PP de orden 4×44 \times 4, tal que su determinante vale 33. Calcule razonadamente el valor del determinante de la inversa de PP, el valor del determinante de la matriz αP\alpha P, donde α\alpha denota un número real no nulo, y el valor del determinante de la matriz tal que sus filas son 2F1−F42F_1 - F_4, F3F_3, 7F27F_2 y F4F_4.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
¿En qué posición relativa pueden estar tres planos en el espacio que no tienen ningún punto en común?
b)1,5 pts
Determine la posición relativa de los planos π:x−2y+3z=4\pi: x - 2y + 3z = 4, σ:2x+y+z+1=0\sigma: 2x + y + z + 1 = 0 y φ:−2x+4y−6z=0\varphi: -2x + 4y - 6z = 0.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Ángulo que forman dos rectas.
b)1,5 pts
Determine el ángulo que forman la recta rr, que pasa por el punto (1,−1,0)(1, -1, 0) y tal que su vector director es v⃗=(−2,0,1)\vec{v} = (-2, 0, 1), y la recta ss de ecuación: x−74=y+64=z2\frac{x - 7}{4} = \frac{y + 6}{4} = \frac{z}{2}.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas.

Sabiendo que P(x)P(x) es un polinomio de tercer grado con un punto de inflexión en (1,0)(1, 0) y con P′′(1)=24P''(1) = 24 donde, además, la tangente al polinomio en ese punto es horizontal, calcule ∫−10P(x)dx\int_{-1}^{0} P(x) dx.
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas.

Dadas f(x)=x−∣x∣2f(x) = \frac{x - |x|}{2} y g(x)={3xx≤0x2x>0g(x) = \begin{cases} 3x & x \leq 0 \\ x^2 & x > 0 \end{cases}, calcule ∫−10x2(g∘f)(x)dx\int_{-1}^{0} x^2 (g \circ f)(x) dx. (g∘fg \circ f denota la composición de esas funciones).
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

Un vendedor de coches estima las siguientes probabilidades para el número de coches que vende en una semana: Calcule el número esperado de coches que venderá en una semana. Si el vendedor recibe un salario semanal de 25.00025.000 pesetas, más 25.00025.000 pesetas adicionales por cada coche vendido, ¿Cuál es la probabilidad de que una semana su salario sea inferior a 100.000100.000 pesetas en el supuesto de que se sepa que es superior a 25.00025.000 pesetas?
Número de coches01234
Probabilidad0,220,350,250,10,08
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Ejercicio 8 · Opción A

8Opción A
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

La vida útil de una marca de lámparas sigue una distribución normal de media 1.2001.200 horas y desviación típica 250250 horas. ¿Qué proporción de lámparas tiene un tiempo de vida inferior a 1.0501.050 horas?, ¿qué proporción de lámparas tiene un tiempo de vida superior a 1.3501.350 horas? Explique brevemente el porqué de la relación entre los resultados. ¿Qué proporción de lámparas tiene un tiempo de vida entre 1.0501.050 y 1.3501.350 horas?
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Ejercicio 9 · Opción B

9Opción B
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

Calcule α\alpha para que el siguiente sistema homogéneo tenga más soluciones que la trivial. Resuélvalo para dicho valor de α\alpha y dé una interpretación geométrica del sistema de ecuaciones y de su solución. {x+2y−z=02x+y−αz=0x−y−z=0\begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ 2x + y - \alpha z = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases}
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Ejercicio 10 · Opción B

10Opción B
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

Calcule los valores del parámetro α\alpha para los que la matriz MM no tiene inversa. Calcule la matriz inversa de MM para α=2\alpha = 2, si es posible. M=(10−10α341−α)M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & \alpha & 3 \\ 4 & 1 & -\alpha \end{pmatrix}
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Ejercicio 11 · Opción B

11Opción B
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Sean u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} dos vectores. Compruebe que si (u⃗+v⃗)(u⃗−v⃗)=0(\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} - \vec{v}) = 0 entonces ∣u⃗∣=∣v⃗∣|\vec{u}| = |\vec{v}|.
b)1,5 pts
Calcule los vectores unitarios que sean perpendiculares a los vectores u⃗=(−3,4,1)\vec{u} = (-3, 4, 1) y v⃗=(−2,1,0)\vec{v} = (-2, 1, 0).
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Ejercicio 12 · Opción B

12Opción B
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Definición de distancia mínima entre dos rectas en el espacio. Casos posibles.
b)1,5 pts
Calcule la distancia entre las rectas rr y ss, donde rr tiene por ecuaciones x=3y=5zx = 3y = 5z y la recta ss pasa por los puntos A=(1,1,1)A = (1, 1, 1) y B=(1,2,−3)B = (1, 2, -3).
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Ejercicio 13 · Opción B

13Opción B
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
¿Puede haber dos funciones distintas que tengan igual función derivada? Si la respuesta es afirmativa, ponga un ejemplo. Si, por el contrario, la respuesta es negativa, razónela.
b)1,5 pts
Calcule la derivada de la función f(x)=∣x−2∣f(x) = |x - 2| en x=2x = 2, si es posible. Represente la gráfica de la función y, sobre ella, razone su respuesta.
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Ejercicio 14 · Opción B

14Opción B
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas.

a)1,5 pts
Enunciado del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.
b)1 pts
Sean ff y gg, dos funciones continuas, definidas en el intervalo [a,b][a, b], que verifican que ∫abf=∫abg\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} g. Demuestre que existen α,β∈[a,b]\alpha, \beta \in [a, b] tales que f(α)=g(β)f(\alpha) = g(\beta).
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Ejercicio 15 · Opción B

15Opción B
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

El tiempo, en horas, que tarda un autobús en hacer el recorrido entre dos ciudades es una variable aleatoria con función de densidad: f(x)=0,3(3x−x2)f(x) = 0{,}3(3x - x^2) si x∈[1,3]x \in [1, 3] (y cero en otro caso).
a)1 pts
Calcule el tiempo medio que tarda en hacer el trayecto.
b)1,5 pts
Calcule la probabilidad de que la duración de un trayecto sea inferior a dos horas si se sabe que es superior a una hora y media.
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Ejercicio 16 · Opción B

16Opción B
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

Un saltador de longitud salta una media de 88 metros con desviación típica de 2020 cm. Para poder ir a la próxima olimpiada es necesario tener una marca de 8,308{,}30 metros. ¿Qué probabilidad tiene de conseguir esta marca en un salto? Y, ¿cuál es esta probabilidad si realiza diez saltos?
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